Méthode de Laplace générale

Bonjour, j'essaye à tout prix de trouver l'équivalent de l'intégrale ci-dessous avec $\tau \rightarrow 0$ et $x>\ln K, \sigma>0$ sans succès. La grosse difficulté réside dans le fait que cette intégrale n'est pas directement une intégrale de Laplace (dépendance sous la racine en $\tau$). Toutefois, il est clair que la fonction dans l'exp est maximale en $y=0 $ et ce pour tout $\tau$, on serait donc tenter d'approcher la fonction dans l'exp par son DL en y=0 ? En faisait cela, je reste coincé également. Si vous avez des idées, je suis preneur. Merci !

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\begin{align*}
I\left(\tau\right) & =\int_{0}^{1}\sqrt{1-y}\exp\left(-\frac{\left(x-\ln K+\sigma\sqrt{-\tau y\ln\tau y}\right)^{2}}{2\tau\sigma^{2}\left(1-y\right)}\right)dy\\
& =\int_{0}^{1}\sqrt{1-y}\exp\left(-\frac{\left(x-\ln K\right)^{2}}{2\tau\sigma^{2}\left(1-y\right)}\times\left(1+\frac{\sigma}{x-\ln K}\sqrt{-\tau y\ln\tau y}\right)^{2}\right)dy\\
& =\int_{0}^{1}\sqrt{1-y}\exp\left(-\frac{\left(x-\ln K\right)^{2}}{2\tau\sigma^{2}}\times\left(1+\frac{2\sigma}{x-\ln K}\sqrt{-\tau y\ln\tau y}-\frac{\sigma^{2}\tau y\ln\tau y}{\left(x-\ln K\right)^{2}}\right)\times\sum_{n=0}^{\infty}y^{n}\right)dy.
\end{align*}
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