Intégrale de Stieltjes, absolue continuité
J'ai voulu me repencher un peu sur les intégrales curvilignes et j'ai trouvé sur Wikipédia que c'est un cas particulier d'intégrale de Stieltjes.
La définition est principalement donnée en termes de sommes de Riemann, mais la notation $\displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}g(x)$ fait clairement écho à la théorie de la mesure : je pense que $\text{d}g$ va être une mesure associée à la fonction $g$. Je pars du principe que c'est effectivement le cas, si ce n'est pas le cas, ce n'est pas la peine de lire la suite de ce que j'écris. Mais si ce n'est pas une mesure, j'aimerais avoir une définition de cette intégrale en termes d'intégrale d'une application sur un espace mesurable par rapport à une mesure donnée.
J'aimerais d'abord savoir quelle va être la formule d'une mesure $\text{d}g$ associée à une fonction $g$. Plus précisément, je pense que le cadre qui me sera le plus utile sera celui où $\text{d}g$ sera une mesure à densité par rapport à la mesure de Lebesgue que je note $\lambda$. J'aimerais savoir dans quelles conditions sur $g$ la mesure $\text{d}g$ est effectivement à densité par rapport à $\lambda$ et le cas échéant, quelle est la fonction densité $\delta$ telle que $\text{d}g(x) = \delta(x) \text{d} \lambda(x)$ (elle est certainement liée à $g$ mais ça n'est sûrement pas $g$ elle-même, puisque dans les intégrales curvilignes on a des normes de dérivées qui apparaissent).
J'ai bien trouvé un énoncé à la fin de cet article mais ça ne répond que très partiellement à ma question, et ce n'est absolument pas formel.
Si quelqu'un a un article/cours/PDF sur l'intégrale de Stieltjes expliquée par la théorie de la mesure, et/ou un article/cours/PDF qui répond à mes questions avec des démonstrations, je suis preneur ! Apparemment ça devrait parler de distributions, je suis un peu rouillé dessus mais ça ne me fait pas plus peur que ça.
Merci d'avance !
La définition est principalement donnée en termes de sommes de Riemann, mais la notation $\displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}g(x)$ fait clairement écho à la théorie de la mesure : je pense que $\text{d}g$ va être une mesure associée à la fonction $g$. Je pars du principe que c'est effectivement le cas, si ce n'est pas le cas, ce n'est pas la peine de lire la suite de ce que j'écris. Mais si ce n'est pas une mesure, j'aimerais avoir une définition de cette intégrale en termes d'intégrale d'une application sur un espace mesurable par rapport à une mesure donnée.
J'aimerais d'abord savoir quelle va être la formule d'une mesure $\text{d}g$ associée à une fonction $g$. Plus précisément, je pense que le cadre qui me sera le plus utile sera celui où $\text{d}g$ sera une mesure à densité par rapport à la mesure de Lebesgue que je note $\lambda$. J'aimerais savoir dans quelles conditions sur $g$ la mesure $\text{d}g$ est effectivement à densité par rapport à $\lambda$ et le cas échéant, quelle est la fonction densité $\delta$ telle que $\text{d}g(x) = \delta(x) \text{d} \lambda(x)$ (elle est certainement liée à $g$ mais ça n'est sûrement pas $g$ elle-même, puisque dans les intégrales curvilignes on a des normes de dérivées qui apparaissent).
J'ai bien trouvé un énoncé à la fin de cet article mais ça ne répond que très partiellement à ma question, et ce n'est absolument pas formel.
Si quelqu'un a un article/cours/PDF sur l'intégrale de Stieltjes expliquée par la théorie de la mesure, et/ou un article/cours/PDF qui répond à mes questions avec des démonstrations, je suis preneur ! Apparemment ça devrait parler de distributions, je suis un peu rouillé dessus mais ça ne me fait pas plus peur que ça.
Merci d'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Déjà si tu pars de la définition avec les sommes de Riemann tu vas te heurter aux mêmes problèmes qu'avec l'intégrale de Riemann. Les espaces ne sont pas complets, une limite simple, décroissante, dominée de fonctions S-intégrable (mes excuses à Stieltjes mais j'ai trop de mal avec son nom) n'est pas forcément S-intégrable etc... Bref il vaut mieux passer à la version Lebesgue de l'intégrale de S.Pour ça deux solutions (au moins) :
-On refait la construction de la mesure de Lebesgue sauf qu'on prend $\mathrm dg ([a;b])=g(b)-g(a)$ au lieu de $b-a$.
-Avec la def des sommes de Riemann on montre que $\int \mathrm dg$ est une forme linéaire continue positive sur $C^0_c$ et par Riesz on obtient une mesure $\mathrm dg$.
Les deux approches donnent la même mesure. Dans le cas où $g$ est $C^1$ c'est un classique de montrer que $\mathrm dg=g'\mathrm d \lambda$. On montre aussi assez facilement que $\mathrm dg$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue ssi $g$ est absolument continue, les choses sont bien faites :)o.
De façon générale on a toujours $\mathrm dg =g'$ où $g'$ est prise au sens des distribution (si je ne dis pas de bêtises).
Je n'avais pas pensé à simplement prendre $g(b) - g(a)$ comme valeur de la mesure associée à $g$ sur $[a,b]$, c'est tout simple :-). Je vais voir ce que j'arrive à faire.
En quoi ça complique les choses si $g$ n'est pas croissante ? De manière générale si $g$ n'est pas monotone ?