Différentielles

Attention $d(d(f))$ et $f''$ ce n'est justement PAS la même chose. D'ailleurs, ici $f''$ n'a pas trop sens. En général cette notation est utilisée si l'espace de départ $\R.$

Je pense que selon le contexte, ils savent de quoi ils parlent.

Ensuite, je me permets de donner mon avis sur l'histoire de la notation $f''$. Beaucoup d'étudiants (moi y compris), quand ils découvrent le calcul différentiel, confondent les objets "dérivée" et "différentielle", d'autant plus que les profs utilisent les deux à tort et à travers. La manière qui m'a permis de retenir qu'il y a une différence entre les deux, et quelle est la différence, est la chose suivante :

La différentielle de $f$ en $a$ est censée être un application linéaire : la dérivée $f'$ de $f : x \longmapsto x^3$ n'est absolument pas linéaire. Donc $f'$ n'est pas la différentielle. Cependant il y a un lien, c'est le suivant : $\mathcal{D}_a f = (h \longmapsto f'(a)h)$. Donc la différentielle et la dérivée sont bel et bien liées... mais pour trouver un lien entre la différentielle seconde et la dérivée seconde, j'avouerai que j'ai toujours eu la flemme :-D

Ensuite, il y a l'application différentielle $\mathcal{D} f : a \longmapsto \mathcal{D}_a f$. Elle est à valeurs dans les applications linéaires, certes, mais elle n'a aucune raison d'être linéaire, donc c'est encore un troisième objet qui n'est ni la différentielle de $f$ en $a$, ni la dérivée de $f$ en $a$.

Comme je disais, la difficulté principale du calcul diff, c'est les notations.

@Alesha,

Ce que Schwartz appelle ici dérivée est bien la différentielle. Cela s’entend bien dans la mesure où c’est la bonne généralisation de la notion de dérivée d’une fonction d’une variable(i.e pour laquelle la dérivabilité entraîne la continuité). En revanche, c’est problématique quand on voit qu’on peut généraliser naïvement la définition habituelle de la dérivée(comme limite d’un taux d’accroissement), il y aurait alors deux dérivées qu’il faudrait distinguer. Le recours au vocable actuel permet justement de lever cette ambiguïté.

Les deux dérivées à considérer dans le cas des fonctions de deux variables sont les dérivées partielles. Elles apparaissent quand on prend la limite du taux d'accroissement selon l'une ou l'autre des variables (pour qu'un tel taux d'accroissement ait un sens, on veut diviser par l'accroissement, ce qui ne fonctionne pas si celui-ci est vectoriel). Tout ceci se généralise en considérant les dérivées partielles selon un vecteur non nul $v$. Malheureusement l'existence de dérivées partielles dans toutes les directions n'implique pas la différentiabilité.