Critère comparaison intégrale/série

jp59
jp59
dans Analyse
Bonjour,

Dans le théorèmes de comparaison avec les inégalités de fonctions positives sur les intégrales impropres ou les séries on suppose l’integrande positive (ou le terme général de la série) et je vois bien pourquoi puisque dans la preuve on l’utilise clairement
Avec les équivalents et les petits o, je trouve cela un peu moins clair, puisque 2 fonctions équivalentes au voisinage d’un point y sont de même signe, n’est-ce donc pas répéter 2 fois la même chose lorsque l’on écrit dans une copie « d’apres le critère de comparaison sur les fonctions équivalentes et positives (ou de signes constants comme l’integrale De cette fonction converge alors l’intégrale de cette autre fonction converge »
Il y a t il 2 fonctions équivalentes en un pt et dont l’integrale De l’une diverge et l’integrale De l’autre converge ?

Merci !

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, il en existe bien-t-il et je te suggère, maintenant que tu le sais, d'en chercher une paire d'exemples.

    Il faut visiblement quelque chose qui change de signe pour faire converger, à quoi tu ajoutes un truc beaucoup plus petit que le précédent, qui s'annule aux mêmes endroits et qui malgré tout fait diverger. À toi.
  • jp59
    jp59
    Il faut trouver deux fonctions qui seront de même signe au voisinage d’un réel ou de l’infini car équivalentes mais de signes non constants au voisinage de ce point ?
  • jp59
    jp59
    En prenant la suite (-1)puissance/racine de n ( exemples des séries alternés convergentes) et que j’ajoute un terme (j’ai essayé avec n racine de n par exemple) je cherche à faire des équivalents et je ne trouve pas de série divergente car je retombe toujours sur la suite de départ...
  • Math Coss
    Math Coss
    Très bonne idée : la somme des $(-1)^n/\sqrt{n}$ converge par le critère spécial des séries alternées – mais elle ne converge pas absolument.

    En revanche, $1/(n\sqrt{n})$, c'est le terme général d'une série absolument convergente : si tu veux deux séries de natures différentes, il faut ajouter un terme général négligeable devant $1/\sqrt{n}$ (pour avoir deux suites équivalentes) mais dont la série associée diverge. Tu n'as pas à chercher loin.

    Cela dit, je croyais que tu cherchais des fonctions : pourras-tu adapter ton exemple ?
  • jp59
    jp59
    Je proposerais naïvement 1/n mais ensuite j’essaie de faire un DL etc..mais je ne vois pas comment l’ecrire de façon efficace.
    J’ai pensé aux signes non constants donc principalement aux suites
    Avec les fonctions je proposerais l’integrale De cos(t^2) converge par IPP mais de là à trouver un équivalent en + l’infini dont l’integrale Diverge ça me semble difficile.
  • Math Coss
    Math Coss
    Un développement asymptotique, c'est destiné à remplacer un truc compliqué par une somme de trucs simples dans une échelle bien définie. Quand on part de $1/n$, le développement asymptotique, il va vite !

    Bref, tu as d'un côté $u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, de l'autre $v_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\dfrac1n$ (pour $n\ge1$). Est-il vrai que $u_n\sim v_n$ ? Que dire de la convergence des séries associées ?

    Pour la version intégrale, tu connais sans doute une intégrale semi-convergente qui ressemble plus aux suites précédentes : le signe passe régulièrement de $-$ à $+$ et vice versa et le module tend vers $0$ mais pas assez vite pour être intégrable.
  • rakam
    rakam
    @Math Coss
    Ce que tu suggère serait plutôt un exemple d'intégrale semi-convergente non absolument convergente.

    Pour les équivalents en cause c'est moins évident.
    Je me permets de suggérer à jp59 le cas $$f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt x},\qquad g(x)=f(x)+\dfrac{|\sin x|}x$$
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