Limite d'une suite d'intégrales

Bonjour,

J'ai du mal à conclure cet exercice :

$f$ est continue sur $[0,1]$, à valeurs réelles positives. On note $M=max(f)$.
Montrer $$I_n=\left(\int_0^1 (f(t))^n dt\right)^{1/n}\to M$$

L'énoncé m'invite à :
- majorer $I_n$ par $M$. Pas de problème.
- fixer un $\varepsilon>0$. Montrer qu'il existe $[a,b]\subset[0,1]$ tel que $a<b$ et pour $a\leq x\leq b, f(x)\geq M-\varepsilon$. Pas de problème.
- conclure. Et là ça coince.

J'obtiens un truc du genre :
$I_n\geq (M-\varepsilon)u_n$ où $u_n\to1$.
Mais pour finir ?

Merci de vos coups de main !