Convergence (Weierstrass)

Bonjour,

je m’intéresse à l'uniformité de la convergence d'une série de fonction $\sum f_i$ où $f_i\colon I\to\mathbb{R}^n$ avec $I$ supposé compact, pour laquelle j'ai réussi à établir que pour tout $i\in\mathbb{N}$ et pour tout $t\in I$ \[\|f_i(t)\| \leq \frac{|t-t_0|^i}{i!}M^i\] où $M>0$ et $t_0$ sont des constantes.

Comme $I$ est compact la fraction dans l'inégalité est bornée et je note $t^* = \sup_{t\in I} |t-t_0|$ ainsi je me dis que
\[\|f_i(t)\| \leq \frac{|t^*-t_0|^i}{i!}M^i\] et comme la partie de droite est le terme général d'une série convergente, $\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{|t^*-t_0|^i}{i!}M^i= \mathrm{e}^{M[t^*-t0|}$, j'ai conclu, par le critère de Weierstrass, que la série $\sum f_i$ converge normalement, donc uniformément.

Est-ce que ceci tient la route ?

Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da