Espaces topologiques séparés et recouvrements
dans Analyse
Bonjour
Je me posais la question suivante.
Dans un espace topologique séparé X, existe-t-il un recouvrement par des ouverts disjoints pour toute partie de X ?
Je me posais la question suivante.
Dans un espace topologique séparé X, existe-t-il un recouvrement par des ouverts disjoints pour toute partie de X ?
Réponses
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Ça dépend de ce que tu appelles "recouvrement par des ouverts disjoints". Tu connais la notion de connexité ?
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La question m'est venue a l'esprit surtout par rapport aux compacts d'un e.t séparé, intuitivement cela me parait faux mais peut-on trouver un recouvrement par des ouverts disjoints pour un tel compact? Ou un compact est toujours connexe et donc ceci n'existe pas?
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$\mathbb{R}$ est séparé (pour la topologie usuelle, évidemment), et $[a,b] \cup [c,d]$ est une partie fermée (réunion de deux fermés) et bornée donc compacte. Elle n'est cependant pas connexe dès que $b < c$.
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