Une égalité de séries
Réponses
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Tu veux dire:
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(n+2)^2n!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}\right)=\text{e}-1$ ?
NB:
Indication: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=\text{e}$
Indication numéro 2: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}=\text{e}-1$ -
Indication numero 3: $\dfrac{a}{a\times b}=\dfrac{1}{b}$ avec $a,b$ des réels non nuls
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Totem:
On peut couper ta série en deux.
Commence, pour t'échauffer, par évaluer:
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1) (n+1)!}$
En appliquant l'indication 3. -
Ce que j'ai demandé est peut-être un peu plus compliqué que prévu. Il ne faut surtout pas séparer les deux séries :-D
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A part l'indication 2, je pense que le reste est foireux.
Cependant on doit pouvoir écrire la série sous la forme: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{R(n)}{(n+1)!}$
avec $R$ une fraction rationnelle.
Si c'est le cas, le calcul revient à démontrer que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{R(n)-1}{(n+1)!}=0$
Cela pue la "télescopie" à plein nez. -
J'ai tenté quelque chose avec les séries entières, mais rien de bien brillant...
Ouh ouh Jandri ? :-D -
On a:
$\begin{align}U_n&=\frac{R(n)-1}{(n+1)!}\\
&=\frac{1}{(n+2)^2n!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!} -\frac{1}{(n+1)!}\\
&=\frac{(n+1)}{(n+2)(n+2)!}-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{(n+1)!}\\
&=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\frac{1}{(n+2)!}-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{(n+1)!}\\
\\\end{align}$
On a bien:
$\begin{align} U_n&=S(n+2)-S(n+1)\end{align}$
avec: $\displaystyle S(n)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{1}{n!}$
PS:
A noter que $S(1)=0$
$\begin{align} \sum_{n=0}^N U_n&=(S(2)-S(1))+(S(3)-S(2))+...+(S(N+2)-S(N+1))\\
&=S(N+2)-S(1)\\
&=S(N+2)\\
&=\left(1-\frac{1}{N+2}\right)\frac{1}{(N+2)!}\end{align}$
Ce dernier terme tend vers $0$ quand $N$ tend vers l'infini donc $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}U_n=0$ -
J'avais pensé à ça :
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2 n!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} \Big) = \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2 n!} + \frac{1}{(n+1)^2 n!} \Big) = \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \Big) \frac{1}{n!}$
On trouve que la série s'écrit $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2}{(n+1)^2 (n+2)^2} \Big) \frac{1}{n!}$
Mais je ne sais pas si c'est utile. -
bonsoir
ta série s'écrit : $$\Sigma_0^{+\infty}[\frac{\frac{n+1}{n+2}}{(n+2)!}+\frac{\frac{1}{n+1}}{(n+1)!}]$$
soit encore : $$\Sigma_0^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!} + \Sigma_0^{+\infty}[\frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{(n+2](n+2)!}]$$
soit encore e - 1 - 1 + 1 = e - 1
puisque dans la seconde série (qui est télescopique) il ne reste que la première fraction soit 1
cordialement -
Tu commences par remplacer $n+2$ par $n$ et la somme est
$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n-1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n-1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.$$ -
On peut faire une démonstration par récurrence en utilisant la relation de récurrence vérifiée par les nombres de Stirling de deuxième espèce.
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Ok merci à vous ! bon c'était pas bien méchant mais...
Je me posais la question, partant de là, de la somme de la série de terme général $1/(n.n!)$ . Est-elle connue ou répertoriée ? Je crois que jandri répond à la question, bien que j'ignore tout des nombres de Stirling. -
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Ouh là en effet...l'exponentielle intégrale s'est invitée...bon tant pis !
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Wolfram Alpha évalue probablement ta série en la coupant en deux et en évaluant individuellement chaque série qui s'exprime en fonction de la valeur de l'exponentielle intégrale en 1 et de $\gamma$, la constante d'Euler. Il y a un phénomène de compensation qui fait que tous les trucs "méchants" se détruisent les uns les autres pour ne laisser que la gentille fonction exponentielle banale évaluée en 1.
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"les trucs méchants se détruisent les uns les autres " ça donne quoi mathématiquement ?? valeurs principales de Cauchy ?
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Ah oui ok j'ai compris, la constante d'Euler et l'exponentielle intégrale disparaissent en effet, trompant sur la simplicité du résultat final !
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Bonjour!
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