Tu commences par remplacer $n+2$ par $n$ et la somme est
$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n-1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n-1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.$$
J'ai trouvé (mais pas encore démontré) une généralisation avec les nombres de Stirling de deuxième espèce (A008277) :
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=1}^r\frac{Stirling2(r,k)}{(n+k)^rn!}=e-1$$
Ok merci à vous ! bon c'était pas bien méchant mais...
Je me posais la question, partant de là, de la somme de la série de terme général $1/(n.n!)$ . Est-elle connue ou répertoriée ? Je crois que jandri répond à la question, bien que j'ignore tout des nombres de Stirling.
Wolfram Alpha évalue probablement ta série en la coupant en deux et en évaluant individuellement chaque série qui s'exprime en fonction de la valeur de l'exponentielle intégrale en 1 et de $\gamma$, la constante d'Euler. Il y a un phénomène de compensation qui fait que tous les trucs "méchants" se détruisent les uns les autres pour ne laisser que la gentille fonction exponentielle banale évaluée en 1.
Réponses
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(n+2)^2n!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}\right)=\text{e}-1$ ?
NB:
Indication: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=\text{e}$
Indication numéro 2: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}=\text{e}-1$
@AD: merci c'est gentil ça !
On peut couper ta série en deux.
Commence, pour t'échauffer, par évaluer:
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1) (n+1)!}$
En appliquant l'indication 3.
Cependant on doit pouvoir écrire la série sous la forme: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{R(n)}{(n+1)!}$
avec $R$ une fraction rationnelle.
Si c'est le cas, le calcul revient à démontrer que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{R(n)-1}{(n+1)!}=0$
Cela pue la "télescopie" à plein nez.
Ouh ouh Jandri ? :-D
$\begin{align}U_n&=\frac{R(n)-1}{(n+1)!}\\
&=\frac{1}{(n+2)^2n!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!} -\frac{1}{(n+1)!}\\
&=\frac{(n+1)}{(n+2)(n+2)!}-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{(n+1)!}\\
&=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\frac{1}{(n+2)!}-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{(n+1)!}\\
\\\end{align}$
On a bien:
$\begin{align} U_n&=S(n+2)-S(n+1)\end{align}$
avec: $\displaystyle S(n)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{1}{n!}$
PS:
A noter que $S(1)=0$
$\begin{align} \sum_{n=0}^N U_n&=(S(2)-S(1))+(S(3)-S(2))+...+(S(N+2)-S(N+1))\\
&=S(N+2)-S(1)\\
&=S(N+2)\\
&=\left(1-\frac{1}{N+2}\right)\frac{1}{(N+2)!}\end{align}$
Ce dernier terme tend vers $0$ quand $N$ tend vers l'infini donc $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}U_n=0$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2 n!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} \Big) = \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2 n!} + \frac{1}{(n+1)^2 n!} \Big) = \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{(n+2)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \Big) \frac{1}{n!}$
On trouve que la série s'écrit $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2}{(n+1)^2 (n+2)^2} \Big) \frac{1}{n!}$
Mais je ne sais pas si c'est utile.
ta série s'écrit : $$\Sigma_0^{+\infty}[\frac{\frac{n+1}{n+2}}{(n+2)!}+\frac{\frac{1}{n+1}}{(n+1)!}]$$
soit encore : $$\Sigma_0^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!} + \Sigma_0^{+\infty}[\frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{(n+2](n+2)!}]$$
soit encore e - 1 - 1 + 1 = e - 1
puisque dans la seconde série (qui est télescopique) il ne reste que la première fraction soit 1
cordialement
$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n-1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{n-1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.$$
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=1}^r\frac{Stirling2(r,k)}{(n+k)^rn!}=e-1$$
Je me posais la question, partant de là, de la somme de la série de terme général $1/(n.n!)$ . Est-elle connue ou répertoriée ? Je crois que jandri répond à la question, bien que j'ignore tout des nombres de Stirling.
cf:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle_intégrale
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1/((n+1)*(n+1)!),n=0,infinity
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1/((n+2)^2*n!),n=0,infinity