Densité des applications linéaires

Dedeu
Dedeu
dans Analyse
Bonjour,

Je n'arrive pas à montrer que les applications linéaires injectives de Rn dans Rp, avec n<p sont denses dans L(Rn,Rp)

Peut-être me manque-t-il un théorème qui pourrait rendre la question triviale ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Comment lis-tu l'injectivité d'une application linéaire sur sa matrice ?
  • Dedeu
    Dedeu
    Alors on se donne la matrice A qui est celle de f dans les bases canonique de R^n et R^p

    Déjà si f est surjective alors rg(A) = dim(Im(f)) = p car l'image de f est l'ensemble d'arrivé tout entier

    Par contre si f est injective, rg(A) =dim(R^n)- dim(ker(f)) par le théorème du rang soit rg (A) = n

    Mais je ne suis pas sûr de comprendre où cela va me mener...
  • Tryss
    Tryss
    Si $\text{Rg}(A) < n$, que peux tu dire du rang de $A+\epsilon I$ ?
  • Dedeu
    Dedeu
    La famille des colonnes de la matrice A + Iepsilon étant libre, le rang de la matrice sera n donc on a bien trouvé une matrice injective.

    Donc si rg(A)<n, je peux créer une suite de matrices injective de la forme (A+I/k) qui va converger vers A.

    Ce que je veux montrer c'est que les applications linéaires injectives soient denses dans L(Rn,Rp)
    Donc que l'adhérence des applications linéaires injectives soit égale à L(Rn,Rp).
    Autrement dit, que toute suite de matrice injective converge vers une certaine matrice B d'une application linéaire de L(Rn,Rp).

    Il faudrait alors que je montre que toute suite de matrice d'une application linéaire injective s'écrive sous la forme A+I/k ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ahem... Si $\newcommand{\e}{\varepsilon} A=\left(\begin{smallmatrix}-\e&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$, quel est le rang de $A+\e\mathrm{id}$ ? Il faut être plus prudent.

    Tu n'as pas vraiment répondu à ma question : comment détectes-tu que le rang d'une matrice $n\times p$ est $<n$ (avec $n<p$) ? Une façon de faire, c'est de l'échelonner, mais sinon ?
  • Dedeu
    Dedeu
    Ah oui je n'avais pas fait attention...

    D'après ce que j'ai étudié, il faudrait que je regarde la dimension de l'espace vectorielle engendré par la famille des colonnes de A.
  • Dedeu
    Dedeu
    Je pourrais aussi montrer qu'elle est équivalente à une certaine matrice de rang j<n en particulier la matrice J à n lignes et p colonnes qui serait constituée de j colonnes avec des 1 en position Jiiet tout le reste de 0.

    Peut-être pourrais-je alors essayer de construire une suite avec ce genre de matrice ?
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