Espace de Hilbert

Bonjour
si on note $V((0,T) \times [a,b])$ l'espace muni de la norme $$
||u||^2_V= \dfrac{1}{2} \sup_{t \in [0,T]} ||u(.,t)||^2_{L^2([a,b])} + ||\nabla u(.,t)||^2_{L^2((0,T) \times (a,b))},
$$ si $v$ est un élément de $V$ est-ce que $\dfrac{\partial v}{\partial t}$ est bien définie et dans quel espace elle appartient ?

Cordialement.