Ensembles dénombrables et mesures

Si $\lambda$ dénote la mesure de Lebesgue, quelle est la mesure d'un singleton?
Comme $\lambda$ est une mesure de Radon (finie sur les compacts), tu peux écrire par $\sigma-$additivité (et définition de la mesure de Lebesgue) que pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $$\lambda(\{x\})=\lambda \left( \bigcap_{n\in\mathbb{N}} ]x-\frac{1}{n+1},x+\frac{1}{n+1}[ \right)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \lambda \left( ]x-\frac{1}{n+1},x+\frac{1}{n+1}[ \right)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{2}{n+1}=0.$$
Enfin, si $A$ est un ensemble au plus dénombrable alors (toujours par $\sigma-$ additivité), il vient par le point précédent : $$\lambda(A)=\sum_{x\in A}\lambda(\{x\})=0.$$

La mesure de Lebesgue d'un singleton $\{x\}$ est nulle puisque par définition $$\{x\} = [x,x]$$ et donc $\lambda(\{x\}) = x-x=0.$

Bonjour Abidou.

Il serait bon de revoir un cours sur le sujet avant d'affirmer ce genre de choses. Surtout après avoir dit "c'est très clair" à Bobbyjoe qui utilisait justement ce résultat ::o

Un segment n'est pas un intervalle ?

$$\left]a-1,b+1\right[ =\left]a-1,a\right[\cup[a,b]\cup\left]b,b+1\right[\;.$$
Si on connaît la mesure de Lebesgue des intervalles ouverts bornés, on en déduit celle des intervalles fermés bornés.