Montrer que f est prolongeable par continuité

dllkevin · September 2018

Bonjour ,
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_{*}^{+}$ par $f(x) = x - \arctan(\ln(x))$
Montrer que $f $est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}_{*}^{+}$.

Résolution
$\lim\limits_{x \rightarrow 0 }( x - \arctan(\ln(x))) = - \frac{\pi }{2}\ $ et $\ \lim\limits_{x \rightarrow + \infty }( x - \arctan(\ln(x))) = + \infty $
Je ne m'attendais pas à trouver des valeurs différentes du coup comment je montre que cette fonction est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}_{*}^{+}$ ?

BobbyJoe · September 2018

Par les théorèmes usuels, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}.$
Pour la prolonger (ici en $0$), il suffit de remarquer que cette fonction admet une limite en $0^{+}$... Pourquoi calculer la limite en $+\infty$? Revois bien la définition d'un prolongement (par continuité si tu veux...)

dllkevin · September 2018

BobbyJoe
Ah oui je viens de m'en rendre compte , merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Poirot · September 2018

Ton énoncé est un peu bizarre, tu as une fonction continue sur $\mathbb R^{+*}$ et tu veux montrer qu'elle se prolonge par continuité à $\mathbb R^{+*}$ ? On veut plutôt la prolonger par continuité à $\mathbb R^+$, ce qui se fait en montrant que la fonction admet une limite en $0$, comme l'a dit BobbyJoe. Le comportement en l'infini n'a rien à faire ici.

Montrer que f est prolongeable par continuité

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