Points critiques équations à deux variables

Pour commencer, le calcul de $\frac{\partial f}{\partial y}$ est (un peu) faux. (Tu voulais sans doute écrire $2B+A$.) L'expression de $y$ en fonction de $x$ est (un peu) fausse. Quand je poursuis le calcul, l'élimination de $y$ donne lieu à une équation en $x$ qui ne semble pas facilement résoluble : $28x^4-64x^3+128x^2-180x+75=0$. (Elle a deux racines réelles, son groupe de Galois est $\mathfrak{S}_4$.)

sage: f = 6*x-3*y-3*x^2-x*y^2+2*x^2*y+y^3
sage: 
sage: S = (diff(f,x),diff(f,y))
sage: R = QQ[x,y]
sage: A, B = R(S[0]), R(S[1]); A, B
(4*x*y - y^2 - 6*x + 6, 2*x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 3)
sage: I = R.ideal([A,B])
sage: I.elimination_ideal([R(y)])
Ideal (28*x^4 - 64*x^3 + 128*x^2 - 180*x + 75) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field

Bref, tu es sûr.e de l'énoncé ?

À ma connaissance, il n'y a pas de moyen d'exprimer simplement les solutions de cette équation. On doit trouver les deux points d'intersections réels d'une ellipse et d'une hyperbole, on tombe sur des équations de degré $4$ qui n'ont rien de particulier, il n'y a pas d'expression simple a priori.

Tu as repéré ton erreur de calcul, quand même ?

Comme principe, il vaut mieux éviter les racines carrées autant que possible. Ici, en calculant « $A+2B$ », on trouve $y^2$ en fonction de $x$. On peut reporter pour obtenir $xy$ comme polynôme de degré $2$ en $x$, puis élever au carré et remplacer à nouveau $y^2$ en fonction de $x$, d'où une équation polynomiale de degré $4$ en $x$. Pas de miracle, c'est celle qui est indiquée plus haut et qui ne se résout pas sans sortir la grosse artillerie.

Avant cela, il y a une erreur de calcul dans $B$ portant sur le coefficient de $x^2$.

La méthode de Ferrari, c'est pour avoir des formules exactes. Si ton but est d'avoir des valeurs approchées, c'est une autre histoire mais les ordinateurs le font très facilement.