Pour commencer, le calcul de $\frac{\partial f}{\partial y}$ est (un peu) faux. (Tu voulais sans doute écrire $2B+A$.) L'expression de $y$ en fonction de $x$ est (un peu) fausse. Quand je poursuis le calcul, l'élimination de $y$ donne lieu à une équation en $x$ qui ne semble pas facilement résoluble : $28x^4-64x^3+128x^2-180x+75=0$. (Elle a deux racines réelles, son groupe de Galois est $\mathfrak{S}_4$.)
sage: f = 6*x-3*y-3*x^2-x*y^2+2*x^2*y+y^3
sage:
sage: S = (diff(f,x),diff(f,y))
sage: R = QQ[x,y]
sage: A, B = R(S[0]), R(S[1]); A, B
(4*x*y - y^2 - 6*x + 6, 2*x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 3)
sage: I = R.ideal([A,B])
sage: I.elimination_ideal([R(y)])
Ideal (28*x^4 - 64*x^3 + 128*x^2 - 180*x + 75) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
Merci pour cette réponse !
Je suis sûr de l'énoncé, pas d'erreur dans la fonction. Y a-t-il cependant un autre moyen de procéder pour retrouver les points critiques ? Je m'y suis peut-être mal pris, mais sinon je ne vois vraiment pas de quelle manière procéder pour résoudre cette équation simplement.
À ma connaissance, il n'y a pas de moyen d'exprimer simplement les solutions de cette équation. On doit trouver les deux points d'intersections réels d'une ellipse et d'une hyperbole, on tombe sur des équations de degré $4$ qui n'ont rien de particulier, il n'y a pas d'expression simple a priori.
Tu as repéré ton erreur de calcul, quand même ?
Comme principe, il vaut mieux éviter les racines carrées autant que possible. Ici, en calculant « $A+2B$ », on trouve $y^2$ en fonction de $x$. On peut reporter pour obtenir $xy$ comme polynôme de degré $2$ en $x$, puis élever au carré et remplacer à nouveau $y^2$ en fonction de $x$, d'où une équation polynomiale de degré $4$ en $x$. Pas de miracle, c'est celle qui est indiquée plus haut et qui ne se résout pas sans sortir la grosse artillerie.
Bon, je vais donc devoir employer la grosse artillerie. Pour l'erreur de calcul, j'avais juste en fait inversé le signe de l'équation (A) sur mon brouillon, afin d'avoir un +y^2, donc normalement le calcul de y en fonction de x est juste, mais j'avais juste utilisé comme équation (A) l'équation :
y^2+6x-4xy-6=0, d'où le 2B-A. Merci en tout cas pour l'aide, et bonne soirée !
Avant cela, il y a une erreur de calcul dans $B$ portant sur le coefficient de $x^2$.
La méthode de Ferrari, c'est pour avoir des formules exactes. Si ton but est d'avoir des valeurs approchées, c'est une autre histoire mais les ordinateurs le font très facilement.
Réponses
Je suis sûr de l'énoncé, pas d'erreur dans la fonction. Y a-t-il cependant un autre moyen de procéder pour retrouver les points critiques ? Je m'y suis peut-être mal pris, mais sinon je ne vois vraiment pas de quelle manière procéder pour résoudre cette équation simplement.
Tu as repéré ton erreur de calcul, quand même ?
Comme principe, il vaut mieux éviter les racines carrées autant que possible. Ici, en calculant « $A+2B$ », on trouve $y^2$ en fonction de $x$. On peut reporter pour obtenir $xy$ comme polynôme de degré $2$ en $x$, puis élever au carré et remplacer à nouveau $y^2$ en fonction de $x$, d'où une équation polynomiale de degré $4$ en $x$. Pas de miracle, c'est celle qui est indiquée plus haut et qui ne se résout pas sans sortir la grosse artillerie.
y^2+6x-4xy-6=0, d'où le 2B-A. Merci en tout cas pour l'aide, et bonne soirée !
La méthode de Ferrari, c'est pour avoir des formules exactes. Si ton but est d'avoir des valeurs approchées, c'est une autre histoire mais les ordinateurs le font très facilement.