Relation transitive intervalle

Démarrelesprobas · September 2018

Bonjour,

Soit $O$ un ouvert de $\mathbf R$. Soit $\mathcal R$ la relation binaire sur $O$ définie par : $\forall (a,b)\in O^2, a\mathcal R b\iff (\forall t\in [0,1], at+b(1-t)\in O)$. Pour montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence sur $O$, il me manque la transitivité.

Soit $(a,b,c)\in O^3$ tel que $a\mathcal R b$ et $b\mathcal Rc$. Soit $t\in [0,1]$. Pourquoi $at+c(1-t)\in O$ ?

Poirot · September 2018

Ta relation d'équivalence signifie simplement que $a \mathcal R b$ si et seulement si $[a, b] \subset O$. Si tu supposes que $[a,b ] \subset O$ et $[b, c] \subset O$ alors il est évident que $[a, c] \subset O$. Si tu veux passer par tes $t$, tu peux chercher à paramétrer le segment $[a, b]$ sous la forme $\{at+c(1-t) \mid t \in I_1\}$ pour un certain intervalle $I_1 \subset [0, 1]$, et paramétrer $[b, c]$ par $\{at+c(1-t) \mid t \in I_2\}$ pour un certain intervalle $I_2 \subset [0, 1]$ de sorte que $[0, 1] = I_1 \cup I_2$.

Math Coss · September 2018

Je ne suis pas tout à fait d'accord, Poirot, sur le fait que c'est évident.

Comme tu l'as dit avec d'autres mots, si $a\le b\le c$, un élément de la forme $ta+(1-t)c$ est effectivement de la forme $sa+(1-s)b$ s'il est $\le b$ et de la forme $rb+(1-r)c$ s'il est $\ge b$. Je ne suis pas sûr que ça saute aux yeux de qui Démarrelesprobas (je veux vraiment parler des yeux, c'est-à-dire d'être capable faire la figure qui décrit la situation).
Il y a aussi d'autres cas qui demandent sans doute des justifications. Par exemple, si $a\le b$ et $c\le b$, le segment d'extrémités $a$ et $c$ est inclus dans $[a,b]$ (si $a\le c\le b$) ou dans $[c,b]$ (si $c\le a\le b$). Les autres cas sont à l'avenant.

Démarrelesprobas · September 2018

C'est bon.

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