Bijection entre N et R ?

@L'Axone du Choix : $\phi$ n'est pas surjective.

@Nicolas.Patrois: comment cela se démontre-t-il ?

Au cas où, rappelons que l'on parle ici de continuité en tant qu'espace vectoriel normé.

Que signifie "une fonction continue sur $R$ a ses valeurs déterminées par celles sur $Q$" ?

Cela ne suffit pas tout à fait car l'ensemble des fonctions de $\Q$ dans $\R$ n'est pas dénombrable.

Une fonction continue $f$ est déterminée par son « hypographe rationnel » \[H_f=\bigl\{(x,y)\in\Q^2,\ y\le f(x)\bigr\}.\] On procède en deux temps. D'abord, un réel $a$ peut s'écrire comme : $a=\sup\bigl(\Q\cap\left]-\infty,a\right]\bigr)$ ; par conséquent, si $x$ est rationnel, son image est : $f(x)=\sup\{y\in\Q,\ y\le f(x)\}=\sup p_2\Bigl(H_f\cap\bigl(\{x\}\times\R\bigr)\Bigr)$, où $p_2:\R^2\to\R$, $(u,v)\mapsto v$. Ensuite, pour $x$ réel quelconque, on écrit $x=\lim_{n\to\infty}x_n$ où $x_n=10^{-n}\lfloor10^nx\rfloor$ pour tout $n$ (un rationnel) et on en déduit que $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$.

Ainsi, l'application $f\mapsto H_f$ est une injection de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ dans les parties de $\Q^2$, un ensemble de même cardinal que $\R$. Comme par ailleurs $\R$ s'injecte dans $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ (fonctions constantes par exemple), leurs cardinaux sont égaux.

N'est-il pas plus simple de dire que l'application qui à une fonction continue associe sa restriction à $\mathbb Q$ est injective, et donc $$\left|\mathcal C^0(\mathbb R, \mathbb R)\right| \leq \left|\mathbb R^{\mathbb Q}\right| = \left|\mathbb R\right| \,?$$

@Dom :merci c'est gentil mais je crois que tu me surestimes !
L'image d'une suite convergente par une fonction continue : euh...elle converge vers un de points fixes de f ?

Je suis sûr que tu connais ça.
Soient $u$ une suite réelle, $\ell$ un réel et $f$ une fonction de $R$ dans $R$, continue*.

Théorème : Si la suite $u$ converge vers le réel $\ell$, alors la suite $f(u)$ converge vers le réel $f(\ell)$.

Remarque : là il n'est pas du tout question de point fixe.

*continuité sur $R$ en tant qu'espace vectoriel normé.

@MathCoss: que signifie la notation $R^Q$ ? je connais $R^N$ pour les suites mais là...

« Pareil » : une suite, c'est une application de $\N$ dans $\R$ ; un élément de $\R^\Q$, c'est une fonction de $\Q$ dans $\R$ ; si $E$ et $F$ sont deux ensembles, $F^E$ est l'ensemble des applications de $E$ dans $F$.

J'en profite pour mettre une jolie petite démonstration de $\#\R>\#\N$ lue sur un vieux message du forum (je ne me rappelle plus de l'auteur).

Soit $\varphi : \N \to \R$ une fonction, on définit l'ensemble
\[
U=\bigcup_{i\in \N}\left]\varphi(i)-\frac{1}{2^{i+2}}; \varphi(i)+\frac{1}{2^{i+2}}\right[.
\]
On sait alors que $\lambda (U) \leq \sum_{i\in \N} 2^{-i-1}\leq 1$ où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue et donc $U\neq \R$. Par conséquent $\varphi$ n'est pas surjective.

On peut s'en sortir sans mesure de Lebesgue mais alors il faut modifier un peu le raisonnement.

Heh tu as raison Poirot, ce que j'ai raconté n'a pas beaucoup d'intérêt.

L'argument du message du forum était : supposons que $\varphi : \N \to [0;1]$ soit surjective, l'ensemble $U$ de mon message précédent est un recouvrement du compact $[0;1]$ par des ouverts. Par compacité on peut en extraire un sous recouvrement fini. On a donc obtenu un recouvrement de $[0;1]$ par un nombre fini d'intervalles dont la somme des longueurs est $<1$, ce qui est absurde. Donc $\varphi$ n'est pas surjective.

Poirot a écrit:

n'utilise-t-on jamais le fait que $\R$ n'est pas dénombrable dans la construction de la mesure de Lebesgue ?

Je pense qu'on peut s'en passer. Mais vu mon message précédent je vais éviter d'émettre un avis tranché 8-)