Densité et fonction continue

lisandra
lisandra
dans Analyse
Bonjour.
A-t-on le résultat suivant ?

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbf{R}$. Soit $H$ un ensemble dense dans $\mathbf{R}$ .
Alors $f(H)$ est dense dans l'ensemble d'arrivée.

Merci pour vos réponses.

Réponses

  • AD
    AD
    Bonjour
    Que dire de $f: \R\to\R$ constante ?
    Alain
  • Math Coss
    Math Coss
    Non et c'est facile de construire un contre-exemple avec par exemple $f(\R)$ dense dans $\R$ et $f(H)$ réduit à un singleton. Le sachant, y arrives-tu ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Eh bien, $\{c\}$ est dense dans $\{c\}$.
    MC
  • lisandra
    lisandra
    En cas de continuité et de surjectivité de la fonction f alors ça marche, non ?
  • Math Coss
    Math Coss
    As-tu un contre-exemple sans hypothèse supplémentaire ?

    As-tu une preuve si on impose de plus que $f$ est continue ?

    Auras-tu l'obligeance de les partager avec nous ?
  • mojojojo
    mojojojo
    mathcoss a écrit:
    Eh bien, $\{c\}$ est dense dans $\{c\}$.


    Ici "ensemble d'arrivée" est un peu ambigu, par exemple si $f:\R\to \R$ est constante son ensemble d'arrivée est $\R$ mais son image est un singleton.
  • Math Coss
    Math Coss
    Ah oui, tiens, c'est vrai. J'ai interprété la chose comme « $f(H)$ dense dans $f(\R)$ ». L'idée, c'est qu'on n'a peut-être pas envie de prendre en compte ce que $f$ ne voit pas. Par exemple, si on pense à l'arc tangente et, disons, $H=\Q$, on voudrait quand même pouvoir dire que $f(H)$ est dense, non ? C'est vrai que c'est plutôt l'image que l'ensemble d'arrivée.

    Bref, avec cette interprétation, la fonction constante n'est pas un contre-exemple, c'est ce que je voulais dire.
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