Fonction complexe
Bonsoir à tous,
Je souhaite démontrer la formule
Arcsin(z) = - i ln( iz + sqrt{1-z} )
avec l'indication: poser w = Arcsin(z)
et expliciter e^{iw}.
Mais en essayant de reprendre le raisonnement donnant la formule du log complexe, je n'aboutis à rien.
Avez-vous quelques astuces?
Merci d'avance!
Je souhaite démontrer la formule
Arcsin(z) = - i ln( iz + sqrt{1-z} )
avec l'indication: poser w = Arcsin(z)
et expliciter e^{iw}.
Mais en essayant de reprendre le raisonnement donnant la formule du log complexe, je n'aboutis à rien.
Avez-vous quelques astuces?
Merci d'avance!
Réponses
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Y a d'la formule dans l'air, d'la formule d'Euler.
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Mais encore?
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Posons $w=- \mathrm{i} \ln\Bigl( \mathrm{i}z + \sqrt{1-z} \Bigr)$. Alors $\mathrm{e}^{\mathrm{i}w}=\mathrm{i}z + \sqrt{1-z}$.
Comme l'a dit Euler, ce que tu cherches à montrer, c'est que $\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}w}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}w}}{2\mathrm{i}}=z$, n'est-ce pas ? C'est équivalent à une équation de degré $2$ en $\mathrm{e}^{\mathrm{i}w}$ qu'il est facile d'écrire et de vérifier. Enfin, de vérifier que tu t'es trompé en recopiant l'énoncé – ça ressemble mais il manque un petit ingrédient. -
z appartient à quel ensemble ? Les fonctions qui interviennent ici ne sont pas uniformes sur C.
Où alors est-ce un simple calcul formel ? -
L ensemble d'appartenance de z n'est pas précisé dans l'énoncé...
-
Ce n'est pas très bon signe...
-
Il me semblait que le concept de fonction intégrait son ensemble de définition, au moins l'ensemble dans lequel on prenait ses antécédents ; ça a peut-être changé...
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Bonjour!
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