Fonction holomorphe avec conditions

Bonjour,

J'ai du mal à voir en quoi cela peut m'aider :
$g(z)$ pourrait représenter l'ensemble des fonctions recherchées mais sa partie réelle dépend de $z$ et non de $|z|$ et je ne vois pas comment montrer qu'il n'y a pas d'autres fonctions qui conviennent.

J'ai réfléchi comme suit :

Soit $f$ la fonction recherchée.

$f(x+iy)=U(x,y) +i \times V(x,y)$

il existe une fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb R^+$ tel que $U(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})$

D'après les conditions de Cauchy Riemann :

$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial y}$ et $\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial x}$

$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \times g'(\sqrt{x^2+y^2})$

$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \times g'(\sqrt{x^2+y^2})$

Cela amène à

$\frac{1}{y} \times \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{x} \times \frac{\partial U}{\partial x}$

et grâce au condition de Cauchy Riemann :

$\frac{1}{y} \times \frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{1}{x} \times \frac{\partial V}{\partial y}$

les fonctions $U$ et $V$ recherchées de variables réelles $x$ et $y$ doivent vérifier ces deux équations différentielles :

$\frac{1}{y} \times \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{x} \times \frac{\partial U}{\partial x}$

$\frac{1}{y} \times \frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{1}{x} \times \frac{\partial V}{\partial y}$

Comment résoudre cela?

Dans ce cas, nous avons :
$ \frac{\partial P}{\partial y} = - \frac{\partial Q}{\partial x} = 0 $

et

$ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x}$

$P$ ne dépend que de $x$ et $Q$ ne dépend que de $y$

cela avance mais comment trouver $P$ et $Q$?

$ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x}$

$P$ ne dépend pas de $y$ et $Q$ ne dépend pas de $x$

donc

$ \frac{d Q}{d y} = \frac{d P}{dx}$

$ d Q = \frac{d P}{dx} \times dy$
$Q = \frac{d P}{dx} \times y + K $ avec $K \in \mathbb R$

De même, on trouve
$P = \frac{d Q}{dy} \times x + K' $ avec $K' \in \mathbb R$

En mélangeant les deux équations, on trouve:

$Q = \frac{d Q}{dy} \times y + K $
et
$P = \frac{d P}{dx} \times x + K' $

En raisonnant avec $P$ :

$\frac{dP}{P-K'} = \frac{dx}{x} $

$ln(|P-K'|)=ln(|x|) + A$ avec $A \in \mathbb R$

$P-K'=e^{A}\times x$ ou $P-K'= -e^{A}\times x$

Soit

$P-K'=C\times x$ avec $C \in \mathbb R $
$P=C\times x + K'$

De même, on trouve
$Q=B\times y + K$ avec $B \in \mathbb R $

Donc $g(x+iy)=f(e^{x+ iy})=C\times x + K' + i(B\times y + K)$

En ayant posé, $Z=e^{x+ iy}$, on a $|Z|=e^x$ et $x=ln(|Z|)$ et $y=arg(Z)$

Ainsi pour tout $Z \in \mathbb C \setminus \mathbb R^-$, $f(Z)=C\times ln(|Z|) + K' + i(B\times arg(Z) + K)$

avec $C,K',B,K \in \mathbb R$

Cela constitue l'ensemble des fonctions recherchées.

@babsgueye je pense que pour tout $z \in \mathbb C$ peut s'écrire sous la forme $z=e^{x+iy}$ avec $x,y \in \mathbb R$

@JLT il fallait voir que $B=C$ effectivement

Je me demande pourquoi cette fonction ne pourrait pas être définie sur $\mathbb C$

car lorsque l'on l'écrit sous la forme $f(Z)=C\log(Z)+L$ cela pose problème si $Z \in \mathbb R^- $
mais pas lorsque $f(Z)=C(\ln(|Z|)+iarg(Z))+L$

@GaBuZoMeu je voulais dire $f(Z)=C(\ln(|Z|)+iarg(Z))+L$ pour $Z \in \mathbb C^*$

@JLT Donc en fait $f(Z)=C(\ln(|Z|)+iarg(Z))+L$ peut être définie sur $\mathbb C^*$ mais n'y est pas holomorphe car pas continue

PS: j'ai un autre sujet qui nécessite de l'aide :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1687792