Une application qui préserve une mesure

Bonjour
Je suis bloqué depuis pas mal de temps sur un exercice.

Soit $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ l'application donnée par $f(x)=2 \sqrt{x(1-x)}$ et soit $\mu$ la mesure de probabilités sur $[0,1]$ dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est $\frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$.

On veut montrer que $f$ préserve $\mu$. Il s'agit donc de montrer que pour toutes les fonctions tests $\int_{[0,1]} \phi(x) d\mu(x)=\int_{[0,1]} \phi (f(x)) d\mu(x)$. J'ai retourné cette intégrale un peu dans tous les sens, mais après changement de variables je ne retombe jamais sur mes pattes. Je scinde l'intégrale en deux parties $(0,1/2)$ et $(1/2,1)$, pour avoir un changement de variables bijectifs et j'applique le théorème du changement de variables, les simplifications ne viennent pas (et c'est pas faute de les chercher ).

J'ai bloqué sur d'autres exemples du même type, donc je me dis que je ne suis peut-être pas sur la bonne voie, quelqu'un voit comment il faut faire ?
Merci d'avance,
Bonne soirée.