Famille sommable

Si tu as une famille de termes positifs, alors peu importe la façon dont tu la somme, le résultat serra le même. Du coup :

$\sum_{(n,p) \in \mathbb{N}^2} a_{n,p} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{p=0}^\infty a_{n,p} $

Mais on peut sommer différement :

$= \sum_{p=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{n,p} $

ou encore

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{p=0}^i a_{i-p,p} $

ou tout autre découpage de $\mathbb{N}^2$ qui t'arrange.


Par contre, ça ne marche que pour les familles à termes positifs

Ce sont des découpages en « tranches » :

• première somme : découpage en tranches verticales – $\N$ est vu comme la réunion des $\{n\}\times\N$ ($n\in\N$) ;
• deuxième somme : découpage en tranches horizontales – $\N$ est vu comme la réunion des $\N\times\{p\}$ ($p\in\N$) ;
• troisième somme : découpage en tranches diagonales – $\N$ est vu comme la réunion des $\{(q,p)\,:\;q+p=i\}$ ($i\in\N$).