Pôle de la dérivée le retour !

Au-delà de la plaisanterie, cela illustre que pour une fonction méromorphe, le fait d'être une dérivée impose des contraintes. Le fait que $z\mapsto1/z$ ne soit pas une dérivée sur $\C^*$ est la source de toutes les misères que tu n'as pas manqué ou ne manqueras pas de subir avec le logarithme.

Je rapprocherais ça du théorème suivant : si une fonction réelle $f$ est dérivable sur un intervalle, sa dérivée satisfait à la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires (si $y$ est compris entre $f'(a)$ et $f'(b)$, il existe $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $y=f'(c)$), même si $f'$ n'est pas continue.

Mais si. Si $f'$ admet en $a$ un pôle d'ordre $\ell\ge2$, alors $f$ admet un pôle d'ordre $\ell-1$ puisque $\ell-1$ est le seul entier $k$ tel que $k+1=\ell$.

Encore une fois, notons $k$ l'ordre de $a$ comme pôle de $f$. Si $k=0$, $f$ est holomorphe sur un voisinage de $a$ donc $f'$ aussi, c'est incompatible avec l'hypothèse $\ell\ge1$. Mais alors, $f'$ a un pôle d'ordre $k+1$. Donc $k+1=\ell$ et $\ell=k-1$.


Autre version. Il faut constater que pour une fonction méromorphe, l'ordre de $a$ comme pôle de $f$ est une fonction de $f$. Si elle n'est pas nulle, c'est \[p_a(f)=\min\{j\in\N,\ \lim_{z\to a}(z-a)^jf(z)\in\C^*\}.\] Si $p_a(f)=0$, cela veut dire que $a$ est une singularité apparente ; si $p_a(f)=\infty$, c'est-à-dire s'il n'existe pas de $j$ tel que $\lim_{z\to a}(z-a)^jf(z)$ est finie et non nulle, c'est que $a$ est une singularité essentielle. Grâce au développement en série de Laurent, on montre pour toute fonction $f$ pour laquelle $a$ est un « vrai » pôle (i.e. $p_a(f)\ge1$) la relation [p_a(f')=p_a(f)+1.\] Il devrait alors aller de soi que $p_a(f')=\ell$ équivaut à $p_a(f)=\ell-1$.