Équivalent d'une suite implicite
Bonjour,
Je suis parvenu facilement à montrer que :
- l'équation $x^n+x-1=0$ possède pour tout $n\in\N^*$ une unique solution réelle positive ; notons-la $u_n$.
- la suite $u$ est croissante et converge vers 1.
J'aimerais trouver un équivalent de $1-u_n$ et là je tourne en rond... Une idée ?
Je suis parvenu facilement à montrer que :
- l'équation $x^n+x-1=0$ possède pour tout $n\in\N^*$ une unique solution réelle positive ; notons-la $u_n$.
- la suite $u$ est croissante et converge vers 1.
J'aimerais trouver un équivalent de $1-u_n$ et là je tourne en rond... Une idée ?
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Réponses
Rectification : $o(1)$ au lieu de $o(nv_n)$ après factorisation évidemment !
$$\ln(-\ln v_n)=\ln n+\ln v_n+ln(1+o(nv_n))$$
on peut déduire : $\ln(-\ln v_n) \sim \ln n$ (puisque $\ln n+\ln v_n\to+\infty$ alors que $\ln v_n\to-\infty$). C'est bon ?
Mais comment en déduire un équivalent de $\ln v_n$ dans un premier temps ?
Voici une situation analogue, avec deux suites : $x_n=n+\sqrt{n}$ (qui joue le rôle de $\ln n$) et $y_n=-n$ (qui joue le rôle de $\ln v_n$), on voit que $x_n+y_n$ (qui joue le rôle de $\ln(-\ln v_n)$) tend vers $+\infty$. Peut-tu en déduire que $x_n$ est équivalent à $x_n+y_n$ ? Ben non.
Same player, shoot again. La suggestion est de comparer les ordres de grandeur de ces différentes suites. Je fais la première étape : comme $v_n$ tend vers $0$, $\ln(v_n)$ tend vers l'infini et $\ln(1+o(1))$ tend vers $0$ donc $\ln(1+o(1))$ est négligeable devant $\ln(v_n)$.
Saurais-tu comparer $\ln\ln\frac1{v_n}$ soit à $\ln n$, soit à $\ln v_n$ ?
$\ln(-\ln v_n) = \mathrm{o}\big(\ln v_n\big)$ (car $-\ln v_n \to+\infty$ ; et $\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}x\to0$) et on déduit donc de $\ln(-\ln v_n)\sim \ln n +\ln v_n$ que : $\ln v_n \sim -\ln n$.
($u-v=\mathrm{o}(v) \iff u\sim v$).
En utilisant l'équivalent trouvé précédemment, $\ln v_n\sim -n v_n$, on en déduit :
$$v_n \sim \dfrac{\ln n}n.$$
Détail : la limite de $\ln(x)/x$ est en $+\infty$ et pas en $0^+$ : c'est sans doute la trace d'une rédaction antérieure, on passe.
NB : c'est correct mais je n'aurais pas rédigé comme ça. J'aurais écrit que $\ln\ln\frac1{v_n}$ et le terme $o(1+o(1))$ sont négligeables devant $\ln v_n$, de sorte que l'égalité (et pas l'équivalent) $\ln\ln\frac1{v_n}=\ln n+\ln v_n+\ln(1+o(1))$ entraîne l'équivalent $-\ln n\sim\ln v_n$.