Existence d'un réel positif tel que x^2=2

arthurserres
arthurserres
dans Analyse
Bonjour à tous. Voici l'énoncé et la correction d'un exercice qui consiste à montrer qu'il existe un réel positif tel que x^2=2.
Je ne peux que constater la véracité de cette preuve, néanmoins certains éléments, notamment la recherche font défaut. Ainsi, j'ai voulu savoir si l'un de vous pouvez proposer une méthode logique pour déterminer des conditions suffisantes sur les différents upsilon choisis pour cette preuve.
En particulier:
Pour la partie 1 lorsqu'on suppose x^2>2 on considère a*(x^2-2) mais comment faire si on n'a pas cette "bonne idée"...
Pour la seconde (celle ou l'on suppose x^2<2), rien n'est détaillé...

Bien entendu on suppose la fonction racine carrée inconnue.
Merci d'avance.80536
80538

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Pourquoi ne pas utiliser la continuité (et la bijectivité) de la fonction carré sur [1;2] ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • arthurserres
    arthurserres
    C'est en effet de cette manière que j'avais abordé le problème. Néanmoins dans cette exercice on suppose connue seulement la notion de borne sup/inf
  • Dom
    Dom
    C'est en effet "le départ" sur ce qu'est l'ensemble des réels.
    On admet que la propriété de la borne sup est vérifiée et on souhaite démontrer que $\sup A$ est bien le réel positif de carré $2$.

    Pour ce genre de truc, j'ai envie de raisonner géométriquement. J'entends par là de regarder ce qu'il se passe sur une droite.
    Cela permet peut-être de mieux appréhender ces epsilons et cette notion de borne sup.

    Mais suis-je vraiment en train d'aider...
  • arthurserres
    arthurserres
    En réalité ce n'est pas la notion qui me gêne, je penses l'avoir globalement comprise tant géométriquement qu'algébriquement... Je suis juste dérangé par cet exercice ou le choix des epsilons semble magique, j'aimerais pouvoir formuler des conditions suffisantes qui m'y amènent...
  • gerard0
    gerard0
    Le choix des $\varepsilon$ n'a rien de magique, il est fait en fonction de ce qu'on veut obtenir à la ligne suivante. C'est le problème, quand on lit une preuve, comme on ne l'a pas cherchée, on n'a pas recherché "comment prendre $\varepsilon$ pour que ça marche".
    Et il est inutile d'aller chercher des conditions suffisantes, la valeur de $\varepsilon$ n'a pas d'importance en soi, il faut seulement que "ça marche".

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    C'est une habitude assez désagréable en effet quand on n'a pas cherché, pire, pas trouvé : l'auteur de la preuve "pose un truc".
    Lui seul sait pourquoi.
    En général j'essaye d'expliquer pourquoi...mais pas toujours.

    Comme le dit Gérard, on pose un truc suffisant pour que ça marche.
  • gerard0
    gerard0
    Oui, et quand on cherche soi-même la preuve, on trouve parfois la même chose, ou pas suivant la ligne de pensée personnelle.
  • arthurserres
    arthurserres
    Je comprends bien tous vos conseils... Néanmoins ce qui me frustre ici c'est que j'ai bel et bien cherché cet exercice sans parvenir à le résoudre... Je constate bien sûr la validité de cette preuve mais je demandais juste "une recherche possible" qui aboutirait à celle-ci pour ne plus rester bloqué sur ce genre de questions à l'avenir...
    Je comprends bien la difficulté de la question qui est un peu "personnelle".

    Merci quand même à vous tous pour votre temps.
  • rakam
    rakam
    Bonsoir !
    Il me semble tout bête, puisqu'on veut raisonner par contradiction, de chercher, lorsque $x^2>2$ un réel $y$ vérifiant $y^2>2,\;y<x$.

    Nommer $x-\varepsilon$ cet $y$ est une méthode mais pas obligatoire.
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