intégrale $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$

dllkevin · September 2018

Bonjour ,
je dois calculer $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ en utilisant $x = \cos(u)\Rightarrow dx = -\sin(u) du$
$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\int \sqrt{\frac{(1+x)(1-x)}{(1-x)(1-x)}}dx=\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}dx=\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}dx
$$ $$
\int \frac{\sqrt{\sin^2(u)}}{1-\cos(u)}( -\sin(u))du=\int \frac{-\sin(u)^2}{1-\cos(u)}du=\int \frac{-(1 - \cos^2(u)) }{1-\cos(u)}du,$$ quelqu'un pourrait m'aider SVP ?
Merci d'avance

BobbyJoe · September 2018

Identité remarquable.... $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$...

dllkevin · September 2018

$$\int \frac{\sqrt{\sin^2(u)}}{1-\cos(u)}( -\sin(u))du=\int \frac{-\sin^2(u)}{1-\cos(u)}du=\int \frac{-(1 - \cos^2(u)) }{1-\cos(u)}du$$
$$\int \frac{-(1 - \cos^2(u) )}{1-\cos(u)}du=\int \frac{-(1 - \cos(u))(1 + \cos(u)) }{1-\cos(u)}du=-\int (1 + \cos(u)) du=-u+\sin u+C$$

jean lismonde · September 2018

bonsoir

tu supposes que - 1 <= x < 1 et donc - pi <= u < pi et donc - pi/2 < u/2 < pi/2

tu es obligé de distinguer deux intervalles pour u de - pi à 0 et de 0 à pi et donc

1er cas : - pi <= u < 0

ton intégrale devient $\int\sqrt{\frac{cos^2\frac{u}{2}}{sin^2\frac{u}{2}}}(-2sin\frac{u}{2}cos\frac{u}{2})du$

soit encore $\int(-2cos²\frac{u}{2})du$ soit

- u - sinu + k et en revenant à x il vient $- Arccosx - \sqrt{1 - x²} + k$

2ème cas 0 < u < pi

ta primitive change de signe : $Arccos(x) + \sqrt{1-x²} + k$

cordialement