Domaine de convergence d'une série

Bonjour

Soit $x \in \mathbb{R} $,
déterminons le domaine de convergence de $I(x) = \int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$ ensuite montrer I(x) est décroissante sur domaine de définition.

La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{1+t^x}$ est continue sur $[1;+\infty[$. On a un problème a priori en $+\infty$.
Si $x<0$, on a $\dfrac{1}{1+t^{x}}\rightarrow 1,\ [ t \rightarrow +\infty] $

Je sais que je dois étudier cette fonction si $x = 0$ et $x> 0$ aussi mais j'ai un souci concernant la rédaction du premier cas, je ne sais pas si c'est assez pour prouver qu'elle diverge si $x<0$

Merci d'avance pour votre aide.