Concavité de $\ln$

totem · October 2018

Bonjour
j'ai un problème avec l'exercice suivant portant sur la concavité du log népérien, plus particulièrement sur la correction proposée. Source: Précis Bréal MPSI.

Je connais l'inégalité de convexité, là elle est inversée car log est concave, mais je ne parviens à établir l'inégalité (de Jensen ?) du corrigé, en particulier je n'arrive pas à faire apparaître les dénominateurs...sont-ils égaux à 1 (à condition de multiplier par $1/n$ ) ? Je pense que non c'est uniquement leur limite d'après l'énoncé...?

Merci pour votre aide.

Bbidule · October 2018

Posons $S = \displaystyle\sum_{k=1}^nf\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right)$
Posons, pour tout $k\in [1,n]\cap \mathbb{N}$, $\lambda_k = \displaystyle\frac{f\left(\frac{k}{n}\right)}{S}$
Alors, la dernière inégalité s'écrit:
$$\displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k \ln\left(g\left(\frac{k}{n}\right)\right)\leqslant \ln\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k g\left(\frac{k}{n}\right)\right)$$
Par ailleurs, on a: $ \displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$...

P. · October 2018

$\log a\leq a-1$. Si $m=\int_0^1g(x)f(x)dx$ prendre $a(x)=g(x)/m$ et $\int_{0}^1f(x)\log a(x)dx.$

totem · October 2018

Merci !!
Est-ce qu'en français on peut écrire quelque chose comme " l'image par log du barycentre est supérieur au barycentre des images par log " ?

P. · October 2018

Si tu veux. Un peu vieillot.

totem · October 2018

Ah bon :-)
Pourquoi vieillot ? en français moderne ça donne quoi ?
f est une fonction de poids, comme en statistiques ?
Je sais bien qu'on est sur un forum de maths...

P. · October 2018

sans remonter au seizieme siècle ou les phrases remplacaient les equations les textes d'avant 1930 usaient et abusaient de tournures. Mais enfin on peut en conserver quelques unes, comme la derivee d'une somme est la somme des derives ou la puissance l'emporte sur le logarithme.

totem · October 2018

Je suis d'accord, les équations et symboles sont là pour transcender le langage, comme en physique d'ailleurs.
Mais on peut essayer de clarifier sa pensée en passant par le français, ne serait-ce que pour s'assurer qu'on sait l'expliquer à autrui 8-)