Inégalité par Taylor avec reste intégral

Bonjour.

Ça peut aussi se faire avec des méthodes de lycée (étudier le terme dans la valeur absolue pour trouver son signe, puis en supprimant la valeur absolue, se ramener à l'étude d'une fonction).

Cordialement.

Ton souhait est exaucé : la fonction de gauche est de classe $\mathcal C^{\infty}$ sur $\mathbb R$, on lui applique le théorème de Taylor avec reste intégral à l'ordre $2$, ce qui donne pour tout $x \in \mathbb R$, $$\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} - x = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2} -(1+x+\frac{x^2}{2})-x + \int_0^x \frac{8\mathrm{e}^{2t} - \mathrm{e}^t}{2}(x-t)^2 \,dt = \frac{3x^2}{2} + \int_0^x \frac{8\mathrm{e}^{2t} - \mathrm{e}^t}{2}(x-t)^2 \,dt.$$

Je te laisse t'occuper de l'intégrale, en n'oubliant pas l'hypothèse $x \leq 0$.