Suites convergentes / Cesàro

margaux0206
margaux0206
dans Analyse
Bonjour,
Je n'arrive pas à terminer l'exercice 2 de mon devoir maison.
Après avoir réussi la question 1 et la question 2 je reste bloquée sur la 3eme question.
J'ai appliqué le théorème de Cesàro avec la suite Un qui me donne une suite convergeant elle aussi vers phi mais je n'arrive pas à montrer que phi=0.
Pouvez m'aider à trouver la solution ?
Merci !80582

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Calcule $$\Delta u_1 + \Delta u_2 + \dots + \Delta u_n,$$ et la réponse devrait être claire ;-)
  • margaux0206
    margaux0206
    Poirot
    Cela me donne (U1-Un+1) donc Wn=(U1-Un+1)/n
    D’après Cesarò on sait que cette suite converge vers phi mais comment en déduire que phi=0 ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Relis bien les hypothèses sur la suite $u$, vers quoi peut tendre $$\frac{u_1 - u_n}{n} \,?$$
  • margaux0206
    margaux0206
    Poirot
    Un est bornée donc tend vers une de ses 2 bornes
    Donc |U1-Un+1| est borné ???

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Euh tu penses vraiment qu'une suite bornée converge ?

    On reprend, déjà vers quoi converge la suite de terme général $\frac{u_1}{n}$ ? En suite, comme la suite $u$ est bornée, vers quoi converge la suite de terme général $\frac{u_n}{n}$ ?
  • margaux0206
    margaux0206
    Non mais je pensais que l’on pouvait écrire |U1-Un+1|<M donc |(U1-Un+1)/n|<M/n et que par encadrement des limites on pouvait en déduire que phi=0
    U1/n converge vers 0 et Un/n aussi
  • Poirot
    Poirot
    Oui, c'est un bon argument aussi, la suite de terme général $u_1-u_n$ est bornée, et donc si on la multiplie par une suite qui converge vers $0$, on obtient une suite qui converge vers $0$.
  • totem
    totem
    Est-ce qu'en français le théorème de Cesaro donne :" la moyenne arithmétique des termes de la suite tend vers Phi" ?

    @P: désolé pour le français vieillot ;-)
  • Poirot
    Poirot
    Oui.
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