Rayon de convergence Hadamard
Bonjour
Je souhaite démontrer la formule de Hadamard qui exprime le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n z^n$ en fonction des $a_n$.
On suppose d'abord : $R\in\,]0,+\infty[$.
Si $0<r<R$, il est écrit dans un texte que la suite $|a_n|r^n$ tend vers 0 puisque la série $\sum a_n r^n$ est absolument convergente.
Mais je ne suis pas convaincu de l'absolue convergence prétendue.
En effet, dans une tentative de majoration du module du terme général de cette série, j'écris $$|a_nr^n| = |a_n|r^n=|a_n|R^n \left(\frac{r}{R}\right)^n
$$ La suite de terme général $|a_n|R^n$ n'a aucune raison d'être bornée (le sup d'un ensemble n'appartenant pas toujours à l'ensemble !)
Si c'était le cas, on pourrait conclure par comparaison. (la série "majorante" étant géométrique de raison <1)
Pouvez-vous m'éclairer sur cette difficulté ?
Je souhaite démontrer la formule de Hadamard qui exprime le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n z^n$ en fonction des $a_n$.
On suppose d'abord : $R\in\,]0,+\infty[$.
Si $0<r<R$, il est écrit dans un texte que la suite $|a_n|r^n$ tend vers 0 puisque la série $\sum a_n r^n$ est absolument convergente.
Mais je ne suis pas convaincu de l'absolue convergence prétendue.
En effet, dans une tentative de majoration du module du terme général de cette série, j'écris $$|a_nr^n| = |a_n|r^n=|a_n|R^n \left(\frac{r}{R}\right)^n
$$ La suite de terme général $|a_n|R^n$ n'a aucune raison d'être bornée (le sup d'un ensemble n'appartenant pas toujours à l'ensemble !)
Si c'était le cas, on pourrait conclure par comparaison. (la série "majorante" étant géométrique de raison <1)
Pouvez-vous m'éclairer sur cette difficulté ?
Réponses
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Dans ta « tentative de majoration », il suffit de remplacer $R$ par $r'\in\left]r,R\right[$. Tu seras sûr que $(a_n{r'}^n)$ est bornée et que la série $\sum(r/r')^n$ converge.
-
Bonjour.
Tu peux remplacer R par un r' avec r<r'<R.
Cordialement.
Edit : déjà dit par math Coss (c'est la preuve classique). -
Merci, en effet.
Autre chose pas claire pour moi (plus loin dans la preuve) :
les racine n-ièmes de $|a_n|$ sont tous plus petit que $1/r$ à partir d'un certain rang $n_0$ (ça, d'accord), pourquoi cela implique-t-il que la limite supérieure de ces nombres est plus petite que $1/r$ ? -
Revois la définition de limite supérieure, ce sera évident.
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Bon, pour tempérer l'enthousiasme de Poirot, je dirai qu'à tort ou à raison, la plupart des gens ne trouvent pas grand-chose d'évident avec les limites supérieures...
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$u \in \overline{\mathbb{R}}, L' > L, \exists k$, $ u_{k} > L'$.
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La limite supérieure de la suite de terme général $|a_n|^{1/n}$ est $\inf_n \sup_{k \geq n} |a_k|^{1/k}$. Si tous ces réels sont $\leq \frac{1}{r}$ à partir du rang $n_0$, alors $\sup_{k \geq n_0} |a_k|^{1/k} \leq \frac{1}{r}$, d'où en prenant la borne inférieure, celle-ci sera également $\leq \frac{1}{r}$.
C'est une notion peu aimée des étudiants mais pourtant si pratique, et au fond pas si difficile que ça à comprendre.
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Bonjour!
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