Rayon de convergence Hadamard

Bonjour
Je souhaite démontrer la formule de Hadamard qui exprime le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n z^n$ en fonction des $a_n$.

On suppose d'abord : $R\in\,]0,+\infty[$.

Si $0<r<R$, il est écrit dans un texte que la suite $|a_n|r^n$ tend vers 0 puisque la série $\sum a_n r^n$ est absolument convergente.
Mais je ne suis pas convaincu de l'absolue convergence prétendue.
En effet, dans une tentative de majoration du module du terme général de cette série, j'écris $$|a_nr^n| = |a_n|r^n=|a_n|R^n \left(\frac{r}{R}\right)^n

$$ La suite de terme général $|a_n|R^n$ n'a aucune raison d'être bornée (le sup d'un ensemble n'appartenant pas toujours à l'ensemble !)
Si c'était le cas, on pourrait conclure par comparaison. (la série "majorante" étant géométrique de raison <1)

Pouvez-vous m'éclairer sur cette difficulté ?