Formes différentielles non exactes

antho398 · October 2018

Bonjour à tous,
voici un problème que je cherche à résoudre sans utiliser : la théorie complexe (formule de Cauchy, etc..) et des "théories complexes" ;-).

Considérons la forme différentielle : $\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy\ $ (la fameuse..).
Il s'agit de montrer que son intégrale sur tout cercle dont $O$ n'est pas intérieur vaut $2\pi$ et $0$ sinon.

1ère idée : paramétrer ce fameux cercle $x=a+r \cos(t),\ y=b+r \sin(t)..$ et calculer de manière brutale l'intégrale en utilisant au moment adéquat les conditions liant $r^2$ et $a^2+b^2$.
Pb : le calcul est ...imbuvable !!

2ème idée :
a. c'est très rapide pour un cercle centré en $O$ (d'ailleurs, cela fonctionne aussi pour un carré).
J'imagine que cela fonctionne pour toute courbe fermée (suffisamment régulière) contenant $O$, mais j'aimerais quelque chose de plus élémentaire et les problèmes de calculs arrivent dès que je décale le centre.
b. Pour un cercle ne contenant pas $O$, sur un ouvert convenable de $\R^2$ tel que $x$ garde un signe constant, la forme différentielle admet une primitive de la forme $\arctan(\frac{y}{x})$ (à peu de chose près), donc son intégrale sur un lacet sera nulle.
PB. Comment ajouter également les cercles "traversant l'axe des réels" ?

Bref, j'ai des bouts de réponses, mais rien de probant..
Si vous avez des idées, je suis preneur.
Amicalement.

Math Coss · October 2018

Trois autres bouts, tu ne voudras sans doute pas du premier.

La preuve que l'intégrale sur une courbe fermée est un entier est particulièrement jolie (je trouve) ; elle est complexe au sens qu'il s'agit d'utiliser $\exp(2\mathrm{i}\pi I)$ où $I$ est l'intégrale, mais pas holomorphe. Par continuité, c'est facile de montrer qu'elle est constante quand on déplace le cercle.
Pour un cercle quelconque qui ne contient pas $O$, tu peux toujours trouver une droite passant par $O$ qui ne coupe pas le cercle et faire tourner le repère.
Toujours pour un cercle quelconque qui ne contient pas $O$, il y a grâce au théorème de l'angle inscrit une autre primitive naturelle de ta forme sur $\C\setminus\R^-$ : \[2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}.\]Tu peux trouver une expression analogue pour $\C\setminus\R^+$ et l'affaire est dans le sac.

antho398 · October 2018

Pour poursuivre un peu, je propose les idées suivantes :

Pour le second point :

puisque le cercle $(C)$ ne contient pas $O$, je peux choisir un ouvert $U$ sur lequel la forme différentielle est $C^1$. Un calcul simple montre qu'elle est également fermée. On peut donc appliquer le th. Green-Riemann. Ainsi l'intégrale curviligne vaut $0$.

Pour le premier point :

je cherche toujours une solution calculatoire. L'idée est que : le changement de variable $x=a+rcos(t)$ et $y=b+rsin(t)$ donne l'intégrale $I=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{R^2+R(acos(t)+bsin(t))}{(a+Rcos(t))^2+(b+Rsin(t))^2}dt$.

puisque $arctan\dfrac{y}{x}$ est une "primitive naturelle" de $\omega$ (la forme différentielle), j'effectue le changement de variable totalement "illicite" $u=\dfrac{b+rsin(t)}{a+rcos(t)}$ (je m'occuperai du "redécoupage" de l'intégrale plus tard), ce qui donne bien du $\dfrac{1}{1+u^2}$ à intégrer, mais les bornes...

Une idée ?

Formes différentielles non exactes

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 43