Problème aux limites d'ordre 2
Bonjour,
on a le problème aux limites
$$
\begin{cases}
c^2 U''(x)+F(x)=0,\\
U(0)=A,\\
U(l)=B
\end{cases}
$$
où $c, A, B$ sont des constantes.
Je lis que la solution de ce problème est
$$
U(x)= A+(B-A) \dfrac{x}{l} +\dfrac{x}{l} \displaystyle\int_0^l [\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta} F(\xi) d\xi] d\eta
- \displaystyle\int_0^x[\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta} F(\xi) d\xi] d\eta
$$
Comment on trouve ce résultat? J'ai intégré deux fois et je n'obtiens pas cette expression de $U$.
Merci par avance.
on a le problème aux limites
$$
\begin{cases}
c^2 U''(x)+F(x)=0,\\
U(0)=A,\\
U(l)=B
\end{cases}
$$
où $c, A, B$ sont des constantes.
Je lis que la solution de ce problème est
$$
U(x)= A+(B-A) \dfrac{x}{l} +\dfrac{x}{l} \displaystyle\int_0^l [\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta} F(\xi) d\xi] d\eta
- \displaystyle\int_0^x[\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta} F(\xi) d\xi] d\eta
$$
Comment on trouve ce résultat? J'ai intégré deux fois et je n'obtiens pas cette expression de $U$.
Merci par avance.
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Réponses
Quand tu intègres une première fois qu’obtiens-tu ?
$$
U''(x)= -\dfrac{1}{c^2} F(x) \implies \displaystyle\int_0^x U''(s) ds = -\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^x F(s) ds \implies
U'(x)= U'(0)- \dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^x F(s) ds.
$$
On intègre une deuxième fois on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^x U'(\eta) d\eta= \displaystyle\int_0^x U'(0) d\eta - \dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta}[\displaystyle\int_0^x F(s) ds] d\eta.
$$
Ainsi
$$
U(x)=U(0)+ x U'(0)-\dfrac{1}{c^2} \displaystyle\int_0^{\eta}[\displaystyle\int_0^x F(s)ds]d\eta
$$
Le souci et qu'on n'a même pas $U'(0)$. Il faut obtenir le tout en fonction de $U(0)$ et $U(l)$ mais je ne vois pas comment.
Exactement. Dans ton équation, tu as un $U'(0)$ à remplacer, mais tu n'as pas utilisé $U(\ell)$ : écrit donc $U(\ell)$ qui sera fonction de $U'(0)$ puis exprime $U'(0)$ selon $U(\ell).$ Voilà !