Problème d'analyse

L'ensemble $\mathcal E$ est simplement l'ensemble des suites d'entiers ne prenant que les valeurs $0, 1, \dots ,9$ et $\mathcal E_0$ est le sous-ensemble de $\mathcal E$ constitué des suites n'ayant pas que des $9$ à partir d'un certain rang (la négation de $\exists n \in \mathbb N, \forall m \geq n, c_m=9$ est...).

Pour la question 4, si tu prouves que les suites $u$ et $v$ sont adjacentes, alors en particulier elles convergent (et ce vers la même limite). Donc l'application $F$ est bien définie car dès qu'on prend $(c_k)_k \in \mathcal E$, la limite de la suite de terme général $\displaystyle \sum_{k=0}^n c_k 10^{-k}$ existe. Il faut donc prouver que les deux suites sont bien adjacentes, ce que tu as appris à faire en L1 normalement, il y a trois choses à vérifier.

On ne te demande pas de calculer les limites, mais de montrer qu'elles existent.
Poirot te rappelle qu'il y a 3 choses à vérifier pour montrer que les deux suites sont adjacentes, parmi ces 3 laquelle te pose problème ?

"parmi ces 3 laquelle te pose problème ?"

Tu as très peu de choses à savoir sur les $c_k$ pour montrer que la suite $u$ est croissante par exemple ! Pour $n \in \mathbb N$, que vaut $u_{n+1} - u_n$ ?

Bon, une de moins. Pour la croissance/décroissance, regarde $u_{n+1}-u_n$, pareil pour $(v_n)$.
Tu n'as pas besoin des variations de $(c_k)$, juste de savoir que les $c_k$ sont tous entre 0 et 9.
Commence par $(u_n)$, c'est le plus simple.
edit : oups, trop de monde sur le coup, je m'éclipse.

Peux-tu encadrer tes formules avec le symbole $ pour qu'on y voit plus clair ?

Pour $(v_n)$, tu oublies un terme : $-10^{-n}$, tu vas voir ça change tout.

Déjà il y a un $k$ qui n'a rien à faire ici.
Applique-toi.
Attention quand tu écris $10^{-n+1}$, il s'agit plutôt de $10^{-(n+1)}$.

Pour latex, voici le code de ce que tu as écris dans ton dernier message : V_{n+1}-V_n=C_{n+1} \times 10 ^{-n+1} (n-k) \times -(10)^{-n}
si tu copies/colles ça autour de symboles dollar, ça apparaitra comme ceci :
$V_{n+1}-V_n=C_{n+1} \times 10 ^{-n+1} (n-k) \times -(10)^{-n}$
tu peux tester en cliquant sur "Aperçu" au lieu de "Envoyer"

Pour voir le code de ce que l'on écrit : clic droit -> show math as -> tex command

Ca ne va pas du tout.
Regarde $v_2-v_1$, pour te donner une idée.

Non, ce que tu ajoutes est bien positif, mais est décroissant, et il n'y a pas de règle particulière.
Encore une fois, regarde par exemple $v_2-v_1$ et essaie de déterminer son signe, tu tenteras de généraliser ensuite.

Attention dans la définition de $v_n$ le $+10^{-n}$ n'est pas dans la somme, il n'apparaît donc qu'une fois.

Tu as de sérieux problèmes de calcul. Applique-toi et concentre-toi, il n'y a que comme ça qu'on y arrive, quitte à mettre 1 heure à écrire chaque ligne.

$v_2-v_1 = c_2 10 ^{-2}+10^{-2}-10^{-1}$ es-tu d'accord avec ça ?

Si oui, essaie d'arriver à $v_2-v_1=10^{-2}(c_2-9)$.

Ne t'excuse pas, ce n'est pas pour nous que tu travailles

Quand on te dit de montrer que $(x_k)$ est la suite $(u_k)$ de la question 4), en fait on te demande de montrer l'égalité $x_n=\sum \limits_{k=0}^n c_k 10^{-k}$ et c'est très facile, même sans connaître $c_k$ et $x_k$.
Ce qui est pénible c'est de montrer que $(c_k)$ est dans $\mathcal{E}$, autrement dit que tous les $c_k$ sont entiers et entre 0 et 9. Peut-être en écrivant $x=x_0,d_1 \dots d_k \dots$ et en montrant l'égalité $c_k=d_k$. Ca se fait mais ce n'est pas "joli" je trouve.