Problème d'analyse
Bonjour, je suis totalement bloqué sur un problème d'analyse.
J'ai actuellement fait les 3 premières questions mais je suis bloqué à partir de la question 4. Je ne comprends les ensemble e et E0 et (Ck).
Ma seule piste, c'est qu on nous demande de prouver des suites adjacentes donc on étudie les variations et les limites pour pouvoir prouver que c'est adjacent.
Merci.
J'ai actuellement fait les 3 premières questions mais je suis bloqué à partir de la question 4. Je ne comprends les ensemble e et E0 et (Ck).
Ma seule piste, c'est qu on nous demande de prouver des suites adjacentes donc on étudie les variations et les limites pour pouvoir prouver que c'est adjacent.
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Réponses
Pour la question 4, si tu prouves que les suites $u$ et $v$ sont adjacentes, alors en particulier elles convergent (et ce vers la même limite). Donc l'application $F$ est bien définie car dès qu'on prend $(c_k)_k \in \mathcal E$, la limite de la suite de terme général $\displaystyle \sum_{k=0}^n c_k 10^{-k}$ existe. Il faut donc prouver que les deux suites sont bien adjacentes, ce que tu as appris à faire en L1 normalement, il y a trois choses à vérifier.
Poirot te rappelle qu'il y a 3 choses à vérifier pour montrer que les deux suites sont adjacentes, parmi ces 3 laquelle te pose problème ?
Si c'est positif, la suite est croissante.
Edit : pardon, j'interviens mais ça pourrait court-circuiter la discussion, je repars ;-)
Tu n'as pas besoin des variations de $(c_k)$, juste de savoir que les $c_k$ sont tous entre 0 et 9.
Commence par $(u_n)$, c'est le plus simple.
edit : oups, trop de monde sur le coup, je m'éclipse.
Et Vn+1-vn =Vn+1*10^-n+1 +10^-n+1 donc je ne comprend c'est aussi positif
Je ne suis pas sûr du résultat et j'ai du mal à comprendre son signe.
Applique-toi.
Attention quand tu écris $10^{-n+1}$, il s'agit plutôt de $10^{-(n+1)}$.
Pour latex, voici le code de ce que tu as écris dans ton dernier message : V_{n+1}-V_n=C_{n+1} \times 10 ^{-n+1} (n-k) \times -(10)^{-n}
si tu copies/colles ça autour de symboles dollar, ça apparaitra comme ceci :
$V_{n+1}-V_n=C_{n+1} \times 10 ^{-n+1} (n-k) \times -(10)^{-n}$
tu peux tester en cliquant sur "Aperçu" au lieu de "Envoyer"
Pour voir le code de ce que l'on écrit : clic droit -> show math as -> tex command
Regarde $v_2-v_1$, pour te donner une idée.
Je n'ai pas réussi à prouver que Vn est decroissante
Vn=Un+10-n
Or un est croissante donc si on lui rajoute une valeur positif elle sera encore croissante non ?
Encore une fois, regarde par exemple $v_2-v_1$ et essaie de déterminer son signe, tu tenteras de généraliser ensuite.
Tu as de sérieux problèmes de calcul. Applique-toi et concentre-toi, il n'y a que comme ça qu'on y arrive, quitte à mettre 1 heure à écrire chaque ligne.
$v_2-v_1 = c_2 10 ^{-2}+10^{-2}-10^{-1}$ es-tu d'accord avec ça ?
Si oui, essaie d'arriver à $v_2-v_1=10^{-2}(c_2-9)$.
Aussi, tu pourras peut-être y voir plus clair si tu écris ces puissances négatives de $10$ en des écritures fractionnaires puis en réduisant au même dénominateur.
Pour tout $n$, $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$.
Allez, quand tu seras parvenu au résultat tu te diras "ha ben oui !".
° Un+1-Un=Cn+1*10-n-1
°Vn+1-Vn=(un+1+10-n-1)-(un+10-n)
=Un+1-Un+10-n-1-10-n
=Cn+1*10-n-1+10-2n-1
Ce qui mindiquerais que Vn est croissante car le résultat est positif mais ce n'est pas le résultats attendu
Maintenant, il faut savoir quoi faire de $10^{-n-1} - 10^{-n}$, ce qui apparemment te pose problème.
Dom te rappelle que $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$. On a donc :
$10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=\dfrac{10}{10^{n+1}}=10 \times 10^{-n-1}$;
Je te laisse continuer en factorisant par $10^{-n-1}$ dans $v_{n+1}-v_n$ (par exemple)
10-n-1(Cn+1+1-10-n/10-n-1)
=10-n-1(Cn+1+1-10)
Or Ckest compris entre 0 et 9 donc le résultat est négatif ?
Je dois prouver que Ckappartient à E
J'ai essayer de simplifier Ck
J'obtiens :
Ck={10k} - 1/10*{10k-1-x}
{} : partie entier par default
Je vois qu'il y a 1/10, ce qui me fait amener à 1-1/10=0.9
Il doit y avoir un lien avec E mais je n'arrive pas à comprendre en quoi ce résultats (si il est juste) appartient à E.
Toi, es-tu convaincu de la véracité de ce qui est avancé ? As-tu testé sur un exemple ?
Sachant qu'on ne connais même pas Ck et x.
Ce qui est pénible c'est de montrer que $(c_k)$ est dans $\mathcal{E}$, autrement dit que tous les $c_k$ sont entiers et entre 0 et 9. Peut-être en écrivant $x=x_0,d_1 \dots d_k \dots$ et en montrant l'égalité $c_k=d_k$. Ca se fait mais ce n'est pas "joli" je trouve.