Une intégrale complexe ... ?
Bonjour
Je ne sais pas si c'est une bonne idée,
mais j'essaie de trouver $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin^3(t)}{t^2}dt$$ à l'aide des intégrales complexes.
Je définis :
$A,B$ deux réels tels que $0<A<B$,
$\Gamma_1 = [A,B]$,
$\Gamma_2 = \{Be^{ix}\,|\,x\in[0,\pi]\}$,
$\Gamma_3 = [-B,-A]$,
$\Gamma_4 = \{Ae^{ix}\,|\,x\in[0,\pi]\}$
et $\Gamma$ l'union de ces 4 parties du plan complexe, délimitant une demi-couronne.
$f : z\mapsto\dfrac{\sin^3(z)}{z^2}$ est analytique sur l'intérieur de $\Gamma$,
donc $$\int_{\Gamma}f(z) dz=0
$$ Vue comme fonction d'une variable réelle, $f$ est impaire, donc $$
\int_{\Gamma_1}f(z) dz = \int_{\Gamma_3}f(z) dz
$$ les deux parcourues de gauche à droite.
En majorant, j'obtiens l'existence d'une constante réelle positive telle que : $$
\left|\int_{\Gamma_3}f(z) dz\right|\leq\frac{\alpha}{B}
$$ quantité qui tend vers 0 lorsque $B$ tend vers $+\infty$.
Pour conclure, il me reste à déterminer la limite quand $A$ tend vers 0 de $$
\int_{\Gamma_4}f(z) dz=\int_{\pi}^0f(z) dz=\int_{\pi}^0 \frac{\sin^3(Ae^{i\theta})}{A^2e^{i2\theta}}A.i.e^{i\theta}d\theta
$$ et là... ça coince.
Deux questions :
- la démarche est-elle correcte ?
- auquel cas, comment s'en sortir avec la dernière intégrale et sa limite ?
Merci beaucoup de votre aide !
Edit :
Je m'aperçois en écrivant ce post que les intégrales sur $\Gamma_1$ et $\Gamma_3$ sont opposées, donc se simplifient dans mon calcul (une histoire de sens de parcours de la demi-couronne)
ce qui répond à ma première question : la méthode est vouée à l'échec !
et ce qui répond aussi à la seconde : en majorant le sinus dans $\Gamma_4$, on doit pouvoir montrer que l'intégrale tend vers 0...
Je publie tout de même en espérant que quelqu'un me propose une méthode de calcul de cette intégrale avec l'analyse complexe...
Je ne sais pas si c'est une bonne idée,
mais j'essaie de trouver $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin^3(t)}{t^2}dt$$ à l'aide des intégrales complexes.
Je définis :
$A,B$ deux réels tels que $0<A<B$,
$\Gamma_1 = [A,B]$,
$\Gamma_2 = \{Be^{ix}\,|\,x\in[0,\pi]\}$,
$\Gamma_3 = [-B,-A]$,
$\Gamma_4 = \{Ae^{ix}\,|\,x\in[0,\pi]\}$
et $\Gamma$ l'union de ces 4 parties du plan complexe, délimitant une demi-couronne.
$f : z\mapsto\dfrac{\sin^3(z)}{z^2}$ est analytique sur l'intérieur de $\Gamma$,
donc $$\int_{\Gamma}f(z) dz=0
$$ Vue comme fonction d'une variable réelle, $f$ est impaire, donc $$
\int_{\Gamma_1}f(z) dz = \int_{\Gamma_3}f(z) dz
$$ les deux parcourues de gauche à droite.
En majorant, j'obtiens l'existence d'une constante réelle positive telle que : $$
\left|\int_{\Gamma_3}f(z) dz\right|\leq\frac{\alpha}{B}
$$ quantité qui tend vers 0 lorsque $B$ tend vers $+\infty$.
Pour conclure, il me reste à déterminer la limite quand $A$ tend vers 0 de $$
\int_{\Gamma_4}f(z) dz=\int_{\pi}^0f(z) dz=\int_{\pi}^0 \frac{\sin^3(Ae^{i\theta})}{A^2e^{i2\theta}}A.i.e^{i\theta}d\theta
$$ et là... ça coince.
Deux questions :
- la démarche est-elle correcte ?
- auquel cas, comment s'en sortir avec la dernière intégrale et sa limite ?
Merci beaucoup de votre aide !
Edit :
Je m'aperçois en écrivant ce post que les intégrales sur $\Gamma_1$ et $\Gamma_3$ sont opposées, donc se simplifient dans mon calcul (une histoire de sens de parcours de la demi-couronne)
ce qui répond à ma première question : la méthode est vouée à l'échec !
et ce qui répond aussi à la seconde : en majorant le sinus dans $\Gamma_4$, on doit pouvoir montrer que l'intégrale tend vers 0...
Je publie tout de même en espérant que quelqu'un me propose une méthode de calcul de cette intégrale avec l'analyse complexe...
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Réponses
L’intégrale est plutôt :$\displaystyle \oint {e^{i \alpha z}\over z^2} dz $ et une linéarisation du sinus cubique.
et que j'avais cette intégrale sous la main...
Bon, c'est sans doute pas malin...
Désolé.