Une intégrale triple
Bonsoir à toutes et à tous
Je n'ai pas compris comment ils ont fait pour trouver les bornes de l'intégrale triple suivante ?
\begin{multline*}
\lambda(A)=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\Bigg(\int_{s_{-2}+\frac{1}{2}}^{s_{-2}+\frac{3}{2}}\Bigg(\int_{s_{0}+\frac{1}{2}}^{s_{0}+\frac{3}{2}}ds_{2}\Bigg)ds_{0}\Bigg)ds_{-2}\\
+\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}}\Bigg(\int_{0}^{s_{-2}+\frac{3}{2}}\Bigg(\int_{s_{0}+\frac{1}{2}}^{s_{0}+\frac{3}{2}}ds_{2}\Bigg)ds_{0}\Bigg)ds_{-2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
\end{multline*}
où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^3$
et $ A=\{(s_{-2},s_0,s_2)\in\mathbb{R}^3 ; s_{0}\geq 0, \; s_{-2}<0, \; \frac{1}{2} \leq s_{2i}-s_{2i-2}\leq\frac{3}{2}, \; i=0,1\}$
Merci par avance pour vos réponses.
Je n'ai pas compris comment ils ont fait pour trouver les bornes de l'intégrale triple suivante ?
\begin{multline*}
\lambda(A)=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\Bigg(\int_{s_{-2}+\frac{1}{2}}^{s_{-2}+\frac{3}{2}}\Bigg(\int_{s_{0}+\frac{1}{2}}^{s_{0}+\frac{3}{2}}ds_{2}\Bigg)ds_{0}\Bigg)ds_{-2}\\
+\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}}\Bigg(\int_{0}^{s_{-2}+\frac{3}{2}}\Bigg(\int_{s_{0}+\frac{1}{2}}^{s_{0}+\frac{3}{2}}ds_{2}\Bigg)ds_{0}\Bigg)ds_{-2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
\end{multline*}
où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^3$
et $ A=\{(s_{-2},s_0,s_2)\in\mathbb{R}^3 ; s_{0}\geq 0, \; s_{-2}<0, \; \frac{1}{2} \leq s_{2i}-s_{2i-2}\leq\frac{3}{2}, \; i=0,1\}$
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Réponses
Tu vois donc bien apparaître les bornes des deux intégrales à l'intérieur. Quand à la première, les conditions $s_{-2} < 0,\ s_0 \geq 0$ et $s_0 \leq \frac{3}{2} + s_{-2}$ imposent $- \frac{3}{2} \leq s_{-2} < 0$.
Je suis d'accord avec vous d'une part si on voit les conditions $s_{-2} < 0,\ s_0 \geq
0$ et $s_0 \leq \frac{3}{2} + s_{-2}$ imposent $- \frac{3}{2} \leq s_{-2} < 0$.
Mais d'autre part il faut aussi discuter le cas où on a les conditions $s_{-2} < 0,\ s_0 \geq
0$ et $s_0 \geq \frac{1}{2} + s_{-2}$, on ne peut pas savoir qui ce qu'ils imposent, et c'est ça exactement le problème.
Donc je pense, la méthode que vous avez utilisé ne nous donnera pas la réponse.
Quand on fixe $s_{-2}$ il y a deux façons de projeter le domaine $A$ sur $\R^2$ car $s_0$ doit être $\geq 0$