Riemann-intégrable, pas "Cauchy-intégrable"

nguaphap · October 2018

Bonsoir à tous,

Je peine à trouver un exemple de fonction qui serait intégrable au sens de Riemann, mais pas au sens de Cauchy... Mes recherches s'avèrent pour l'instant infructueuses, peut-être sin(1/x), qui est un exemple "extrême" de fonction Riemann-intégrable, mais pour l'instant je n'arrive à rien avec l'intégrale de Cauchy.

Si vous avez des idées, je vous remercie par avance.

Héhéhé · October 2018

Qu'est-ce que tu entends exactement par intégrable au sens de Cauchy ?

nguaphap · October 2018

Je fais référence à la théorie de l'intégration la plus simple, celle de Cauchy, définie tout d'abord sur des intervalles fermés bornés $[a,b]$ et pour une fonction f continue sur cet intervalle :

$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \lim\limits_{N \rightarrow +\infty} \frac{b-a}{N} \sum\limits_{k=1}^{N} f(a+k\frac{b-a}{N})$

Ensuite on étend aux fonctions n'ayant qu'un nombre fini de discontinuités, puis aux intégrales impropres (par passage à la limite dans la borne problématique).

C'est-à-dire que contrairement à Riemann, on se limite aux subdivisions régulières et non-pointées. Il est toujours dit dans les livres que Riemann permet d'intégrer une plus vaste classe de fonctions, mais je ne trouve pas d'exemple précis.

Romyna · October 2018

Qui peut le plus, peut le moins; l'intégrale de Cauchy "étend celle" de Riemann à variables réelles à l'espace complexe...

X:-(

mojojojo · October 2018

Si $C$ désigne l'ensemble triadique de Cantor alors $\mathbf 1_C$ est Riemann intégrable mais pas Cauchy intégrable puisqu'elle a une infinité de discontinuité. On aurait pu prendre d'autres exemples du même type, l'indicatrice de $\{1/n : n\in \N^*\}$ n'est pas Cauchy intégrable mais est bien Riemann intégrable.

rakam · October 2018

Bonjour !
Je ne comprends pas les réponses données (ou alors je n'ai pas compris la question).
Dès qu'une fonction est Riemann-intégrable la limite des moyennes arithmétiques par intervalles de même longueur est acquise.

Ce qu'il faudrait plutôt chercher c'est une fonction vérifiant la "condition de Cauchy" mais non Riemann-intégrable.

Il me semble que si $f$ est la fonction caractéristique des rationnels et $u$ un irrationnel de $[0,1]$ :
les réels $0+k\dfrac{1-0}n$ sont tous rationnels et la suite des moyennes arithmétiques converge vers 1.
les réels $0+k\dfrac{u-0}n$ et $u+\dfrac{1-u}n$ sont irrationnels (exception pour $k=0,\;k=n$) et la suite des moyennes converge vers 0.
J'ai ajouté l'histoire du $u$ pour montrer l'inanité de "définir" une intégrale par la convergence des moyennes arithmétiques : on ne disposerait plus du théorème de Chasles.

mojojojo · October 2018

Rakam, comme l'a expliqué nguaphap, l'intégrale de Cauchy n'est définie que pour les fonctions continues, puis continues par morceau. L'indicatrice des rationnels n'est donc pas intégrable au sens de Cauchy; pas d'inanité ici donc.

Si l'on connait l'intégrale de Lebesgue on peut montrer qu'une fonction $f : [a;b] \to \mathbf R$ bornée est intégrable au sens de Riemann si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable. Pour trouver une fonction intégrable au sens de Riemann mais pas de Cauchy il suffit donc de prendre une fonction dont l'ensemble des discontinuités est infini mais négligeable.

nguaphap · October 2018

Merci mojojo pour tes réponses extrêmement claires ! (tu)

Une fonction sera Riemann-intégrable ssi elle est bornée et l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable il me semble.

Riemann-intégrable, pas "Cauchy-intégrable"

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