Des indices pour les positifs
Bonjour,
On pose $u_0=0$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}=\dfrac{-3}{u_n +1}$.
Ainsi $\quad u_1=-3\quad$;$\quad u_2=1,5\quad$;$\quad u_3=-1,2\quad$;$\quad u_4=15\quad$;. . .
Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ tel que : $u_n>0$ équivalent à $\exists k \in \mathbb N^*, n=\lfloor k \alpha \rfloor$.
On pose $u_0=0$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}=\dfrac{-3}{u_n +1}$.
Ainsi $\quad u_1=-3\quad$;$\quad u_2=1,5\quad$;$\quad u_3=-1,2\quad$;$\quad u_4=15\quad$;. . .
Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ tel que : $u_n>0$ équivalent à $\exists k \in \mathbb N^*, n=\lfloor k \alpha \rfloor$.
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Réponses
L'équation $x^2+ax+b=0$ a deux racines $\alpha=\sqrt{b}e^{i\theta}$ et $\beta=\overline{\alpha}$ avec $\theta=\pi-\arctan(\dfrac{\sqrt{4b-a^2}}a)$.
On montre que $v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ vérifie $v_n=\dfrac{\alpha^{n+1}}{\beta^{n+1}}$.
On en déduit $u_n=\sqrt{b}\dfrac{\sin(n\theta)}{\sin((n+1)\theta)}=-\sqrt{b}\dfrac{\sin(n\omega)}{\sin((n+1)\omega)}$ avec $\omega=\arctan(\dfrac{\sqrt{4b-a^2}}a)$ (on supose que $\omega\notin\pi\Q$).
On en déduit $u_n>0\Longleftrightarrow \exists k\geq1,\; n\omega<k\pi<(n+1)\omega$.