Fonction additive
dans Analyse
On suppose $f$ une fonction, non nulle, de $\R$ dans $\R$ vérifiant $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout $x$ et $y$ réel.
On peut montrer simplement que pour :
tout $x$ rationnel $f(x)=xf(1)$ (en supposant $f(1)$ non nul)
mais qu'en est-il pour $x$ irrationnel, ne faut-il pas faire intervenir un argument de continuité pour montrer que $ f(x)=xf(1)$,
Si oui, peut-on construire un contre exemple pour $f$ ?
Merci de vos réponses.
[Utiliser dans tous les cas le $\LaTeX$ et pas l'italique de BBcode. :-) AD]
On peut montrer simplement que pour :
tout $x$ rationnel $f(x)=xf(1)$ (en supposant $f(1)$ non nul)
mais qu'en est-il pour $x$ irrationnel, ne faut-il pas faire intervenir un argument de continuité pour montrer que $ f(x)=xf(1)$,
Si oui, peut-on construire un contre exemple pour $f$ ?
Merci de vos réponses.
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Réponses
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Merci, désolé j'ai oublié de faire une recherche.
Cependant, l'existence d'une Q-base de IR est-elle liée à l'axiome du Choix ? -
Probablement (demande sur le forum logique, Christophe se fera un plaisir de te répondre).
La question a surement été traitée ailleurs sur le forum, j'ai fait une recherche rapide.
Cordialement. -
Oui pour passer de $f(x)=f(1)x$ sur les rationnels aux réels, il faut supposer quelque chose de plus sur la fonction. Le plus classiques est la continuité, mais il y en a d'autres (par exemples il suffit d'avoir la continuité en un point, être bornée ou monotone sur tout intervalle, être mesurable, etc.).
Avec l'axiome du choix on peut effectivement construire d'autres solutions pathologiques. Je ne sais pas si c'est équivalent à l'axiome du choix par contre.
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