Tout dépend ce que tu appelles explicite. Par exemple en associant à $(0,a_1a_2a_3\dots; 0,b_1b_2b_3\dots)$ le réel $0,a_1b_1a_2b_2\dots$ ça devrait fonctionner, en excluant les ambigüités de développement décimal, c'est-à-dire en n'en considérant aucun qui ne soit constitué que de $9$ à partir d'un certain rang.
[J'ai changé la virgule séparant les deux termes du couple en un ';'. ;-) AD]
En effet, ma construction ne donnera pas une surjection mais seulement une injection. Comme le dit cc dans l'autre fil, Cantor-Bernstein permet d'obtenir l'existence d'une bijection (puisqu'il est également évident que $[0, 1[$ s'injecte dans $[0, 1[^2$), mais on n'a plus rien d'explicite là (:P)
Cantor Bernstein n'est pas le meilleur remède pour avoir quelque chose d'explicite mais enfin ça peut quand même marcher. Je tente une utilisation naïve de Cantor Bernstein pour expliciter une bijection entre $]0;1]$ et $]0;1[$ :
On pose $f :]0;1] \to ]0;1 [ $ définie par $f(x)=x/2$ et $g : ]0;1[\to]0;1]$ la fonction définie par $g(x)=x$, on a ainsi no deux injections, par Cantor Bernstein il existe une bijection entre les deux ensembles. La troisième démonstration de la page wikipédia du théorème nous dit comment expliciter la bijection, il "suffit" d'expliciter les ensembles $E_F$, $E_E$ etc.
Soit $x\in ]0;1]$, si $x=1/2^n$ pour un certain $n$ alors les antécédents successifs par $f$ et $g$ vont amener le point $x$ sur $1/2^{n-1}$ puis $1/2^{n-2}$ jusqu'à $1\in ]0;1]$ et là on s'arrête. Si $x$ ne s'écrit pas $1/2^n$ alors les antécédents successifs par $f$ et $g$ vont amener le point $x$ sur $2^n x\in ]0;1[$ jusqu'à obtenir un point dans $]1/2;1[$ qui n'admet pas d'antécédent par $f$. Notre bijection recherchée est alors $g^{-1}$ sur l'ensembles des points qui ne s'écrivent pas $1/2^n$ et $f$ sur ceux qui s'écrivent $1/2^n$.
On a retrouvé la bijection $\psi$ de mon message précédent. Ce n'est évidemment pas comme ça que j'ai trouvé la bijection $\psi$ dans mon premier message, au départ je voulais prendre les points $1/n$ plutôt que les $1/2^n$ mais c'était un poil plus facile d'écrire le "décalage" avec les $1/2^n$.
J'en ai une assez jolie de $]0,1[\times]0,1]$ sur $]0,1[$ (qu'il suffira de composer avec une bijection de $]0,1[$ sur $]0,1]$)
Notation : à toute fonction strictement croissante de $u:\mathbb N\to \mathbb N$ j'associe $u^*=\Sigma_{i\in \mathbb N}2^{-u(i)}$ et je pose ${(u^*)}^*=u$ (même notation pour la réciproque, pour éviter la surcharge)
Pour tout réel $a$ en base 3, on note $a_0$ et $a_1$ (problème de batterie je continue plus tard)
Réponses
[J'ai changé la virgule séparant les deux termes du couple en un ';'. ;-) AD]
Mais quel serait l'antécédent de $a=0,090909\dots$ ?
Ce n'est pas très compliqué, il suffit de prendre $\psi(x)=x$ si $x\notin \{1/2^n : n \in \mathbf N\}$ et $\psi(1/2^n)=1/2^{n+1}$ sinon.
AD
On pose $f :]0;1] \to ]0;1 [ $ définie par $f(x)=x/2$ et $g : ]0;1[\to]0;1]$ la fonction définie par $g(x)=x$, on a ainsi no deux injections, par Cantor Bernstein il existe une bijection entre les deux ensembles. La troisième démonstration de la page wikipédia du théorème nous dit comment expliciter la bijection, il "suffit" d'expliciter les ensembles $E_F$, $E_E$ etc.
Soit $x\in ]0;1]$, si $x=1/2^n$ pour un certain $n$ alors les antécédents successifs par $f$ et $g$ vont amener le point $x$ sur $1/2^{n-1}$ puis $1/2^{n-2}$ jusqu'à $1\in ]0;1]$ et là on s'arrête. Si $x$ ne s'écrit pas $1/2^n$ alors les antécédents successifs par $f$ et $g$ vont amener le point $x$ sur $2^n x\in ]0;1[$ jusqu'à obtenir un point dans $]1/2;1[$ qui n'admet pas d'antécédent par $f$. Notre bijection recherchée est alors $g^{-1}$ sur l'ensembles des points qui ne s'écrivent pas $1/2^n$ et $f$ sur ceux qui s'écrivent $1/2^n$.
On a retrouvé la bijection $\psi$ de mon message précédent. Ce n'est évidemment pas comme ça que j'ai trouvé la bijection $\psi$ dans mon premier message, au départ je voulais prendre les points $1/n$ plutôt que les $1/2^n$ mais c'était un poil plus facile d'écrire le "décalage" avec les $1/2^n$.
J'ai déjà une bijection explicite de $]0;1] \times ]0;1] \rightarrow ]0;1]$ ici
Je vais regarder et travailler vos suggestions.
mojojojo : pas mal, je n'y ai pas songé, ton application, couplée avec l'autre bijection devrait cartonner.
Notation : à toute fonction strictement croissante de $u:\mathbb N\to \mathbb N$ j'associe $u^*=\Sigma_{i\in \mathbb N}2^{-u(i)}$ et je pose ${(u^*)}^*=u$ (même notation pour la réciproque, pour éviter la surcharge)
Pour tout réel $a$ en base 3, on note $a_0$ et $a_1$ (problème de batterie je continue plus tard)