Exemple non borélien
dans Analyse
Bonjour,
Quelqu'un peut-il me donner une partie de $\mathbb R$ qui n'appartient pas à la tribu borélienne de $\mathbb R$ ?
Quelqu'un peut-il me donner une partie de $\mathbb R$ qui n'appartient pas à la tribu borélienne de $\mathbb R$ ?
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Réponses
Il n'est d'ailleurs pas possible d'exhiber un exemple explicite ("palpable") d'ensemble non mesurable, et cela nécessite l'axiome du choix (cf Axiome de Solovay pour voir une théorie consistante, sans l'axiome du choix).
D'après cet article Wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_de_Lebesgue#Ensembles_mesurables_non_boréliens on peut donner certains non boréliens à peu près explicites.
EDIT : Rajout du texte en violet et barrage du truc faux.
Pour reprendre le cas de BobbyJoe, une petite démonstration simple est ici
De ce point de vue ça me parait pertinent de donner l'ensemble de Vitali comme exemple d'ensemble non borélien.
Quant à la démonstration du caractère non borélien de l'ensemble de Lusin trouvé sur wikipédia, malheureusement, je ne l'ai jamais vue.
D'ailleurs on peut construire un modèle de ZF où $\R$ est réunion au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables, dans ce modèle tous les ensembles sont boréliens. Evidemment cela pose problème pour définir une mesure $m$ de Borel satisfaisant $m(\{x\})=0$ pour tout réel $x$ et $m([0;1])=1$... Visiblement l'axiome du choix dénombrable est suffisant pour démontrer l'existence et construire des ensembles non Boréliens.
De la lecture et des références pour ceux que ça intéresse.