Exemple non borélien

Bonjour,
Quelqu'un peut-il me donner une partie de $\mathbb R$ qui n'appartient pas à la tribu borélienne de $\mathbb R$ ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.

L'exemple classique (appelé ensemble de Vitali) est un système de représentants des classes d'équivalences du quotient $\mathbb{R} / \mathbb{Q}.$
Il n'est d'ailleurs pas possible d'exhiber un exemple explicite ("palpable") d'ensemble non mesurable, et cela nécessite l'axiome du choix (cf Axiome de Solovay pour voir une théorie consistante, sans l'axiome du choix).

@BobbyJoe : attention, tu confonds borélien et mesurable ! Sans axiome du choix, il existe toujours des non boréliens car la tribu borélienne a pour cardinal celui de $\mathbb R$.

D'après cet article Wikipedia [fr.wikipedia.org] on peut donner certains non boréliens à peu près explicites.

Certes Poirot mais le résultat que tu invoques n'est pas si facile à démontrer! Je ne confonds rien.... L'ensemble dont j'ai parlé est non mesurable et donc en particulier, non borélien!

Dans le temps, quelqu'un (je ne sais plus qui c'est) sur le forum avait proposé l'exemple suivant : soit $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathscr{B}(\mathbb{R})$ une bijection (ça existe sans axiome du choix) (je cite Christophe : il est faux, sans axiome du choix, qu'il existe une telle bijection ; par contre, il existe de telles surjections, ce qui suffit à faire marcher l'argument suivant). Alors posons $M : = \{x \in \mathbb{R} \ \vert \ x \not \in \phi(x)\}$. Alors $M$ n'est pas borélien : s'il l'était, il serait de la forme $\phi(x)$ pour un certain $x$. Aurait-on $x \in M$ ? Si oui, $x \not \in M$, ce qui est absurde. Et si $x\not \in M$, alors $x\in M$, ce qui est absurde aussi. Donc $M$ n'est pas borélien !

EDIT : Rajout du texte en violet et barrage du truc faux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Georges Abitbol.

GA: Stylé, merci pour ce partage.

Oui mais c'est on ne peut plus non explicite ça aussi

Bonjour :)

Pour reprendre le cas de BobbyJoe, une petite démonstration simple est ici



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jsvdb.

Oui, mais l'ensemble de Vitali n'est même pas mesurable au sens de Lebesgue, et nécessite l'axiome du choix. Pour avoir des non boréliens, pas besoin d'autant.

Citation
Poirot
Pour avoir des non boréliens, pas besoin d'autant.

D'un côté on a l'ensemble de Vitali dont la construction est simple "mais" réclame l'axiome du choix. De l'autre on a la démonstration du fait que $\mathrm{Card}(\mathscr B(\R))= \mathrm{Card}(\R)$ qui est tout de même nettement plus compliquée.

De ce point de vue ça me parait pertinent de donner l'ensemble de Vitali comme exemple d'ensemble non borélien.

Quant à la démonstration du caractère non borélien de l'ensemble de Lusin trouvé sur wikipédia, malheureusement, je ne l'ai jamais vue.

J'apporte une précision dont Christophe m'a informé par MP, en éditant mon post ci-dessus.

Personnellement je ne porte pas beaucoup d'intérêt à la question de savoir ce qui vrai ou non lorsque l'on enlève l'axiome du choix ou qu'on le remplace par une version plus faible. Lorsque je poste je ne m'embête pas à préciser que j'utilise l'axiome du choix de la même façon que je ne m'embête pas à préciser que j'utilise l'axiome du choix dénombrable ou le tiers exclu dans mes messages.

D'ailleurs on peut construire un modèle de ZF où $\R$ est réunion au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables, dans ce modèle tous les ensembles sont boréliens. Evidemment cela pose problème pour définir une mesure $m$ de Borel satisfaisant $m(\{x\})=0$ pour tout réel $x$ et $m([0;1])=1$... Visiblement l'axiome du choix dénombrable est suffisant pour démontrer l'existence et construire des ensembles non Boréliens.

De la lecture et des références pour ceux que ça intéresse.

Merci pour le lien très intéressant.

Mmmmh du coup, ça veut dire que pour fabriquer une application $\mathbb{R} \rightarrow \mathscr{B}(\mathbb{R})$ dont on peut démontrer qu'elle est surjective, il faut un peu d'axiome du choix : sans quoi, dans le modèle dont parle le gars dans le lien de Mojojojo, il y a une surjection de $\mathbb{R}$ sur $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ ce que l'on sait impossible depuis Cantor.

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