Développement asymptotique

En notant $f(x)\ll g(x)$ au lieu de $f(x)=o(g(x))$ au voisinage de l'infini, tu sais que l'on a : \[1\ll \ln x\ll x\ll \mathrm{e}^x.\]
Cela entraîne qu'on ne peut pas vraiment trouver un équivalent plus simple de $\mathrm{e}^x/x$ que $\mathrm{e}^x/x$, du moins dans cette échelle : en effet, pour tout $d$ : \[x^d\ll \frac{\mathrm{e}^x}{x}\ll \mathrm{e}^x.\](Pourquoi au fait ?) Cela veut dire que $\mathrm{e}^x/x$ croît plus vite que n'importe quel polynôme et beaucoup moins vite que l'exponentielle. On a aussi, si $a<1<b$ : \[\mathrm{e}^{ax}\ll \frac{\mathrm{e}^x}{x}\ll \mathrm{e}^{bx}.\] (Pourquoi au fait ?)
NB : Cela entraîne aussi (pour $a,b,c\ge2$) : \[1\ll \ln x\ll \ln^2x\ll \cdots\ll \ln^a x\ll \cdots\ll \cdots\ll x^{1/b}\ll x^{1/2}\ll x \ll x^2\ll \cdots \ll x^c\ll \cdots\ll \mathrm{e}^x\ll \mathrm{e}^{x^2}\ll \cdots\] ainsi que, par exemple : \[x\ll x\ln x\ll x\ln^2x\ll \cdots\ll x^2.\]

Si, si, les développements asymptotiques ont tout à fait un sens pour les fonctions usuelles mais on n'en a pas de plus simples que les fonctions les plus simples. En effet, trouver un équivalent, par exemple, c'est trouver une fonction dans une échelle de fonctions de référence. Ce qui se passe ici, c'est qu'à partir du logarithme, de l'exponentielle et des monômes $x^d$, les produits de ces choses ne sont pas équivalents deux à deux.

Pour l'équivalent en l'infini, une technique habituelle consiste à faire une intégration par parties : en dérivant $1/t$, tu fais apparaître une fonction qui est négligeable devant $1/t$ et, si tout va bien, le terme intégré (entre crochets) sera l'équivalent que tu cherches. (C'est la même idée qui permet de transformer l'intégrale semi-convergente de $\sin(t)/t$ en une intégrale absolument convergente de $\sin(t)/t^2$ – normal, le sinus est une exponentielle qui s'ignore.)

Comment as-tu justifié que l'intégrale qui sort de l'IPP est négligeable devant l'intégrale initiale ?

Est-ce que tu n'as pas un théorème qui permet d'intégrer des relations de comparaison ?

Il y a un os : l'équivalent que tu as trouvé est $\mathrm{e}^{-x}/x$, lui aussi négligeable devant $1/x$. Difficile de comparer deux fonctions quand la seule chose qu'on sait est qu'elles sont toutes deux négligeables devant $1/x$.

À la base, tu es un peu « grossière » avec l'estimation $\mathrm{e}^{-t}/t^2=o(1/t^2)$ : tu perds l'exponentielle qui est ta meilleure amie et tu finis par comparer à une fonction ($1/x$) qui n'existe pas dans le problème. Rappelle-toi d'où cela vient et ce que tu veux : montrer que l'intégrale de $\mathrm{e}^{-t}/t^2$ est négligeable devant celle de $\mathrm{e}^{-t}/t$. Pourquoi ne pas comparer ces deux fonctions ?

Quand tu évoques le théorème d'intégration des relations de comparaison (équivalents ou prépondérance), j'aimerais lire au moins un des mots « reste » ou « partie principale ».

Voilà, cette fois je suis convaincu.