Axiome d'une mesure

Bonsoir,
Petite question :
Je retrouve dans toutes les définitions d'une mesure $\mu$ la nécessité de vérifier : $\mu(\emptyset) = 0$.
Et cela indépendamment de la propriété de sigma additivité, a priori.

Mais est-ce qu'elle ne découlerait pas de la sigma additivité justement ?
Puisque $\mu(\emptyset \bigcup\emptyset) = \mu(\emptyset) = \mu(\emptyset) + \mu(\emptyset)$
en considérant les familles disjointes exclusivement formés de l'ensemble vide ?