Calcul de limite

srih
srih
dans Analyse
Bonjour à tous
Je dois montrer que $$ \lim_{ n\rightarrow +\infty}\frac{(\log n )^{\frac{3}{2}}}{n^{\frac{3}{4}}\left(h_n\right)^{\frac{3}{2}}}\rightarrow 0$$ tel que $h_n\rightarrow 0$ et $nh_n\rightarrow +\infty$.
Quelqu'un pourrait m'aider SVP ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il suffit d'écrire le dénominateur comme $\frac{n^{3/4}}{n^{3/2}} (nh_n)^{3/2}$ pour se rendre compte que c'est en général faux. Il faudrait savoir à quelle vitesse $nh_n$ tend vers l'infini.
  • srih
    srih
    Merci pour votre réponse,
    Dans ce cas j’aurais une forme indéterminé $(0* \infty)$, comment je peux éliminer?
    Et est-ce que je peux trouver $ h_n$ , qui vérifié ces condition , en rajoutant une autre hypothèse ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Essaie $h_n=({\ln n\over n})^a, 0<a<1.$
  • srih
    srih
    Merci, j’ai essayé mais je trouve une contradiction sur $a$, $a>1$ et en même temps $a<1/2$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ta condition $a>1$ est fausse. Quelle erreur fais-tu ?
    On trouve $0<a<1/2.$ Fais le calcul pour $a=1/4.$
  • srih
    srih
    je ne sais pas où je suis tromper ,
    pour a=1/4
    \begin{eqnarray*}
    % \nonumber to remove numbering (before each equation)
    \frac{(\log n )^{\frac{3}{2}}}{n^{\frac{3}{4}}\left(h_n\right)^{\frac{3}{2}}} &=& \frac{n^{-\frac{3}{4}}(\log n )^{\frac{3}{2}}}{(\log n )^{\frac{3}{8}}n^{-\frac{3}{8}}} \\
    &=& n^{\frac{3}{8}-\frac{3}{4}}(\log n )^{\frac{3}{2}}(\log n )^{\frac{-3}{8}} \\
    &=& n^{\frac{-3}{8}}(\log n )^{\frac{9}{8}}\\
    &=&\frac{(\log n )^{\frac{9}{8}}}{n^{\frac{3}{8}}}\\
    &=&\left(\frac{\log n}{n}\right)^{\frac{3}{8}} \left(\log n\right)^{\frac{3}{4}}
    \end{eqnarray*}
    toujours je trouve une forme indéterminée $0*\infty$, pouviez-vous me monter vos calcules
  • gerard0
    gerard0
    Cette forme indéterminée se détermine facilement en l'écrivant $\displaystyle\left(\frac {(\ln(n))^3}n\right) ^{\frac 3 8}$.

    Cordialement.

    NB : je n'ai pas vérifié les calculs précédents.
  • srih
    srih
    Comment vous avez montré que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\log n\right)^3}{n}=0\quad?$$
  • Poirot
    Poirot
    C'est une limite classique du lycée.
  • srih
    srih
    Mais je n'arrive pas à [le] montrer.
  • Poirot
    Poirot
    Arriverais-tu à montrer que $$\frac{x^3}{\mathrm{e}^x}$$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
  • srih
    srih
    Quelqu’un peut m’aider s’il vous plaît -
  • paf
    paf
    Utilise les croissances comparées...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu dois connaître, dans ton cours, que $\displaystyle \forall k \in \N, {\ln^k x \over x} \to 0, (x \to +\infty)$ et que $\displaystyle \forall k \in \N, {x^k \over e^x} \to 0, (x \to +\infty).$ On retient qu'une puissance l'emporte sur le logarithme et que l'expoenentielle l'emporte sur toute puissance.

    On peut le montrer de différentes manières, mais le mieux est de revenir à ton cours.

    Pour ton exercice, lorsque tu aboutis à $\displaystyle {\ln^{9/8} n \over n^{3/8}}$ tu sais que $\displaystyle ({\ln^{3} n \over n})^{3/8} \to 0, (n \to +\infty)$ car la puissance au dénominateur l'emporte sur le logarithme (quelque soit la puissance du logarithme).

    Sinon, connais-tu la règle de l'Hôpital ? Soit $\displaystyle x \mapsto {\ln x \over x}={f(x) \over g(x)}, x>0.$ Comme $\displaystyle x \mapsto {1/x \over 1}={f'(x) \over g'(x)} \to 0, (x \to +\infty)$, alors $\displaystyle {\ln x \over x} \to 0, (x \to +\infty).$ Et puis de proche en proche, tu démontres le résultat pour $\displaystyle x \mapsto {\ln^2 x \over x}, x>0.$
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