Fonction réciproque d'un polynôme de degré 3

simohamed · October 2018

Je cherche à calculer la réciproque d'une fonction polynôme d'ordre [de degré] 3 : $$f(x)=x^3+x^2+4x-1
$$ Merci d'avance.

ev · October 2018

Bonne chance.

Préviens-nous lorsque tu auras fini.

e.v.

Romyna · October 2018

Mets d'abord le polynôme sous cette forme : $X^3+pX+q$
Si la dérivée est de signe constant, la fonction est injective.
Si la méthode de Cardan s'applique, la solution sera réelle;
ce qui normalement doit prouver l'existence de réciproque:-S

jean lismonde · October 2018

bonsoir

tu détermines la fonction dérivée f'(x) = 3x² + 2x + 4 qui reste constamment positive

le tableau des variations t'indique que f s'annule pour une seule valeur de x comprise entre 0 et 1

la fonction réciproque g de ta fonction monotone croissante f existe, elle est lourde
mais tu sais déjà que cette fonction réciproque sera monotone croissante
et qu'elle s'annulera pour x = - 1 et que son ordonnée à l'origine sera comprise entre 0 et 1

tu peux utiliser la formule de Cardan pour l'expliciter

cordialement

babsgueye · October 2018

Dès l'instant que tu sais que la fonction réciproque existe, cherche à exprimer $x$ en fonction de $y$, sachant que $y = x^3 + x^2 + 4x - 1$ !

simohamed · October 2018

Merci

Mais comment je peux utiliser cette formule de Cardan pour cette fonction!

Tryss · October 2018

Si on a la fonction $g$ qui vérifie $g(x^3+x^2+4x-1) = x$ (c'est à dire la réciproque de $f$), alors

$g^3(x^3+x^2+4x-1) + g^2(x^3+x^2+4x-1) +4 g(x^3+x^2+4x-1) -1 = x^3+x^2+4x-1$

Ensuite, on pose $y = x^3+x^2+4x-1$, et alors $g(y)$ est solution de l'équation

$X^3 + X^2 + 4 X -1-y = 0$

YvesM · October 2018

Bonjour,

Pourquoi s'acharner à calculer les racines d'un polynôme de degré trois ?

La fonction $\displaystyle f: x \mapsto x^3+x^2+4x-1, \forall x \in \R $ est polynomiale donc définie, continue et dérivable. La dérivée est $\displaystyle f'(x) = 3x^2+2x+4>0$ dont le discriminant réduit est strictement négatif. La fonction $f$ est donc strictement croissante. Comme $\displaystyle f(x) \to \pm \infty, (x \to \pm \infty)$ alors la fonction $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R.$
On écrit que pour tout $\displaystyle y \in \R$ il existe un unique $\displaystyle x \in \R$ tel que $\displaystyle x^3+x^2+4x-(1+y) = 0.$
Pour inverser cette relation, on pose $\displaystyle x=X+a$, on développe, et on choisit $\displaystyle a=-1/3$ pour annuler le coefficient que $\displaystyle X^2$ : $\displaystyle X^3 + {11 \over 3}X-(y+{61 \over 27})=0.$ Pour simplifier un peu, on pose $\displaystyle \xi = 3X$ : $x = {\xi-1 \over 3}$ et $\displaystyle \xi^3+33 \xi -(27 y+61)=0.$
On pose alors $\displaystyle \xi = u+v, (u,v)\in \R^2$ et alors on obtient le système $\displaystyle u^3+v^3 = 27y+61$ et $\displaystyle u^3v^3=-11^3$ dont les solutions vérifent l'équation du second degré : $\displaystyle t^2-(27y+61) t-11^3=0, t \in \R$ que l'on résout avec joie : $\displaystyle t={1 \over 2} \Big(27y+61\pm 3 \sqrt{81y^2+366y+1005} \Big).$
La solution est donc $\displaystyle x = -{1 \over 3} + {1 \over 3} \Big( ({1 \over 2} \Big(27y+61+ 3 \sqrt{81y^2+366y+1005} \Big))^{1/3} +({1 \over 2} \Big(27y+61- 3 \sqrt{81y^2+366y+1005} \Big))^{1/3} \Big).$

omega · October 2018

YvesM a écrit:

Pourquoi s'acharner à calculer les racines d'un polynôme de degré trois ?

euh, c'est pas justement ce que tu as fait, en utilisant la méthode dite de Cardan ?

Fonction réciproque d'un polynôme de degré 3

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