Forme de la fonction $\zeta$
dans Analyse
Bonjour,
Je souhaiterais que quelqu'un m'explique si c'est possible ce qui fait que la fonction zeta n'a pas la même "forme" que d'autres fonctions ; j'essaie de m'expliquer du mieux que je peux, quand on observe une représentation graphique de zeta, on voit des sortes de tentacules, qui viennent se poser sur la droite de partie réelle 1/2, et la représentation graphique est telle que les couleurs arc-en-ciel ne sont visibles qu'à gauche de la droite critique. Quand on dessine d'autres fonctions, comme cos ou gamma, les couleurs "traversent" une droite de symétrie qu'on devinerait, elles ne restent pas toutes du même côté de la droite de symétrie, on n'a pas l'impression de fils d'une même couleur qui viendraient au contact de la droite puis repartiraient de là où ils sont venus. J'espère que je me fais comprendre. Je joins 4 dessins qui illustrent ma question que je résume : pourquoi parfois les couleurs traversent, pourquoi pour zeta, elles ne traversent pas ?
Merci de vos explications.
Cordialement,
Denise Chemla
Je souhaiterais que quelqu'un m'explique si c'est possible ce qui fait que la fonction zeta n'a pas la même "forme" que d'autres fonctions ; j'essaie de m'expliquer du mieux que je peux, quand on observe une représentation graphique de zeta, on voit des sortes de tentacules, qui viennent se poser sur la droite de partie réelle 1/2, et la représentation graphique est telle que les couleurs arc-en-ciel ne sont visibles qu'à gauche de la droite critique. Quand on dessine d'autres fonctions, comme cos ou gamma, les couleurs "traversent" une droite de symétrie qu'on devinerait, elles ne restent pas toutes du même côté de la droite de symétrie, on n'a pas l'impression de fils d'une même couleur qui viendraient au contact de la droite puis repartiraient de là où ils sont venus. J'espère que je me fais comprendre. Je joins 4 dessins qui illustrent ma question que je résume : pourquoi parfois les couleurs traversent, pourquoi pour zeta, elles ne traversent pas ?
Merci de vos explications.
Cordialement,
Denise Chemla
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Réponses
Je n'ai pas la réponse à ta question, mais du point de vue code, ceci suffirait: Cordialement,
Rescassol
La figure montre que c'est vrai même quand la partie réelle de $s$ n'est pas très grande. Peut-être qu'il se produit un phénomène du genre « lemme de Lebesgue » quand la partie imaginaire de $s$ augmente en valeur absolue et que l'expression comme série reste valable (d'après ce lemme, $\lim_{k\to\infty}\int_0^{2\pi}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kt}\mathrm{d}t=0$ pour $f$ raisonnable ; ici, c'est la somme pour $n\ge2$ qui est petite si $\mathrm{Im}(s)$ est grande).
Une expérience que tu peux faire : comparer la figure que tu as tracée pour zêta avec les figures analogues pour $s\mapsto1+\dfrac{1}{2^{s}}$ et $s\mapsto1+\dfrac{1}{2^{s}}+\dfrac{1}{3^{s}}$. En gros, ce que l'on voit, ce sont les premiers termes de la série. Bien sûr, ceci ne marche que là où le développement en série est valable.
Oui Rescassol, bien sûr, je suis négligente et donc des import ou des lambda inutiles traînent, c'est ce qui est fait sur le premier dessin, l'appel direct à zeta.
Merci Math Coss, j'essaierai ce que vous proposez ; ce que je souhaite, c'est obtenir des tentacules (de la couleur dans un demi-plan seulement) avec d'autres fonctions que zeta parce qu'on a un peu l'impression que la forme est obtenue par une sorte de "coinçage" dans le demi-plan gauche d'une fonction qui serait normalement colorée partout.
En tant que neophyte, je me dis que par rapport à un dessin tel que celui présenté sur la première page du cours d'analyse complexe de Michèle Audin dont je donne le lien ci-après, peut-être qu'il y a de la couleur partout quand il y a des cheminées vers le haut et vers le bas tandis qu'il n'y a de la couleur que dans l'un des demi-plans lorsque les cheminées sont seulement vers le haut, par exemple.
http://irma.math.unistra.fr/~maudin/analysecomp.pdf
J'ai un peu honte de ce langage très imagé, pas mathématique du tout, mais j'aimerais réussir à m'accrocher à des images concrètes...
Cordialement et bonne journée,
Denise Chemla
Note qu'il y a bien de la couleur partout, sauf qu'elle est localement à peu près uniforme à part au voisinage d'un zéro ou d'un pôle (d'une singularité). Voici deux images, deux de zêta (en fait, $100\zeta$ pour la deuxième) et de $z\mapsto\mathrm{e}^{1/z}$.
Bref : l'allure du dessin est gouvernée par les zéros et les pôles situés dans la zone qu'on représente.
Merci.
Denise Chemla
Cordialement,
Denise
Je pense que pour comprendre des fonctions si compliquées, il serait utile de regarder attentivement les "plots" de fonctions plus simples comme $z^3-1$, $1/z$, $\log$, etc. Il est intéressant de tracer les lignes de niveau de l'argument, ce qui se lit sur le dessin en cherchant les points d'une couleur donnée. Ensuite, il faut se rappeler que les zones blanches (resp. noires) signifie que le module de la fonction est très petit (resp. très grand) (ou peut-être l'inverse ?) – là, l'information sur l'argument se perd complètement.
J'avais fait ce genre de test pour des fonctions simples mais sans trop de succès, les explications qui m'ont été fournies aujourd'hui me seront très utiles
dessin1
dessin2
dessin3
Bien merci.
Cordialement,
Denise Chemla
Merci pour votre aide, j'ai tenté les exercices plus simples. Les voici :
z ** 7
z ** 3-1
z ** 3-1 zoomée
7 ** z
z ** 7 plus près
1+1/2**z
1+1/2**z+1/3**z
La somme des 1/i^s ne semble pas "tordre" les dendrites et la tentative pour i jusqu'à 10 a l'air bizarre.
Cordialement,
Denise
Pour $z^3-1$, on voit se détacher les trois zéros aux sommets d'un triangle équilatéral. Au voisinage de chaque zéro $a$, la fonction se comporte comme $C(z-a)$ (où $C=a^2+a+1$, une constante). Il doit être possible d'expliquer les trois « rayons » bleu clair qui partent d'un zéro, passent par $0$ et filent à l'infini.
Le cas de $z^7$ est très intéressant aussi. Le paysage est noir tout près de $0$ parce que $z^7$ est très petit ; dès qu'on s'éloigne de $1$, ça devient presque blanc parce que $|z^7|$ grandit vite. Entre les deux, disons au voisinage de $|z|=1$, on voit sept arcs-en-ciel se dessiner : c'est que pendant un tour complet, l'argument parcourt $7\times2\pi$ – c'est une visualisation de la formule évidente $z^7=\mathrm{e}^{7\mathrm{i}\theta}$ si $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$.
Les deux dernières fonctions, qui sont beaucoup plus simples qu'elle, ressemblent assez à la fonction zêta sur le demi-plan « partie réelle positive ». Pour y comprendre l'allure et l'uniformité de zêta, ça me semble assez convaincant, non ?
Merci de vos explications. Cependant non, je ne trouve pas que les deux derniers graphiques ressemblent à $\zeta$ : effectivement, ils présentent cette caractéristique que je souhaitais voir et qui est le fait de n'avoir de la couleur que d'un côté de l'axe mais les différentes dendrites sont bien perpendiculaires à l'axe en question alors que pour $\zeta$, il y a une "torsion des dendrites", qui fait que dans le quadrant en haut à gauche, la diagonale nord-ouest / sud-est semble séparer les dendrites se posant sur les zéros réels négatifs triviaux par le haut, des dendrites se posant sur les zéros non-triviaux de parties imaginaires positives tandis que dans le quadrant en bas à gauche, c'est la diagonale sud-ouest / nord-est qui semble séparer les dendrites se posant sur les zéros réels négatifs triviaux de celles se posant sur les zéros non-triviaux de parties imaginaires négatives.
N'hésitez pas à me proposer des formules à tester pour tenter d'obtenir ces torsions de dendrites, je le ferai volontiers.
Cordialement,
Denise
Cliquer le SAGE.
Cliquer le Sage amène sur la page de téléchargement du logiciel, j’imagine que vous vouliez nous montrer le code de la figure plutôt.
Quant au dernier post de coss, il est vraiment trop marrant.
Denise Chemla
Comme l'avait conseillé Math Coss, j'ai multiplié les dendrites...
jusqu'à 4
jusqu'à 7
jusqu'à 50
jusqu'à 100
Je ne comprends pas pourquoi le fait de remplacer toutes ces écritures par un for ne permet pas d'obtenir les mêmes résultats, n'hésitez pas à me conseiller.
Merci.
Cordialement,
Denise Chemla
Quelqu’un aurait-il une référence de cours à me fournir : je ne sais pas du tout comment il faut procéder pour trouver les solutions complexes d’une équation comme
2^z+3^z+6^z=0 ?
Wolfram gratuit en ligne m’a bien fourni un complexe solution dont j’ai pu vérifier qu’il annulait bien l’expression à gauche du égal, mais j’aimerais apprendre la méthode d’obtention.
Merci.
Cordialement,
Denise
Ce post pour fournir un programme et son résultat en python par rapport aux questions que j'ai posées à tous.
Cordialement,
Denise
Poursuivant mes expérimentations colorées en python, quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi on ne voit pas les zéros sur une droite vers la droite verticale des nombres de partie réelle 16 et quelques comme il semblerait qu'on doive le faire en exécutant la recherche de racines par findroots ?
Si un administrateur considère que ce message aurait peut-être davantage sa place dans la rubrique mathématiques et informatique, merci de me le dire.
Merci.
Denise
Je profite du fait que vous me répondiez pour ajouter deux questions :
- pourquoi y a-t-il de plus en plus de zéros de partie imaginaire inférieure à 20 quand on augmente le nombre de termes de la somme (cf les dessins associés à mon dernier post d'il y a trois jours que j'avais appelés jusqu'à 4, 7, 50 et 100) ?
- au fur et à mesure qu'on augmente le nombre de termes, les zéros semblent s'aligner de plus en plus ; est-ce normal ou bien est-ce encore une "illusion python" ?
Bonne soirée.
Denise
Je poursuis mes expérimentations en comptant les zéros : pour $1+1/2^s$, j'en vois 22, pour $1+1/3^s$ j'en vois 35. Le rapport du nombre de solutions est comme attendu un rapport de logarithmes : 35/22 approximativement égal à $ln \;3/ln \;2$. Et pour le nombre de solutions de $1+1/6^s$, on en voit 57 (la somme du nombre de solutions pour 2 et du nombre de solutions pour 3).
Pour 4=2^2, il y a deux fois plus de solutions que pour 2 comme on s'y attend aussi (dessin non ajouté).
J'ai enfin fait dessiner les "contraires", les solutions de $1+1/6^s$ ou de $-1+1/6^s$, la différence entre les deux est la couleur qui se trouve à l'intérieur du disque.
On comprend bien le passage du cercle à la ligne.
Pour ce qui est du findroots python, il fait exactement ce que la programmeuse lui demande de faire : il trouve les zéros à une "tolérance" près, le processus de direction vers une solution approximative dit "muller" était indiqué comme celui à utiliser préférentiellement pour le plan complexe, et le fait de mettre False fait que même si un zéro n'est pas un zéro mais assez près, il est accepté comme solution, il me semble donc qu'on ne doive pas profiter de ces erreurs grossières de programmation pour critiquer le serpent...
Merci pour ces conseils.
Cordialement,
Denise
Les graphiques correspondant aux polynômes sont typiques : un arc-en-ciel autour de chaque zéro ; le nombre de « tours » de l'arc-en-ciel correspond à la multiplicité du zéro – cf. ci-dessous le graphique pour $z(z-1)^2$.
Une idée naïve et fumeuse : on sait résoudre $1+\frac{1}{2^s}=0$ ; dès qu'on a une solution $s_0$, les autres sont $s_0+\frac{2\pi}{\ln 2}\mathrm{i}$. Ça en fait apparemment moins que des zéros de zêta. Plus on ajoute des termes, plus on se rapproche de zêta alors...
Ça me semble une illustration de la conjecture de Riemann : en augmentant le nombre de termes, les zéros de la somme partielles se rapprochent des zéros de la fonction zêta, lesquels sont réputés être tous sur la demi-droite « partie réelle = 1/2 ». D'ailleurs, dans le domaine des dessins que l'on fait dans ce fil (pour une partie imaginaire de l'ordre de la centaine ou moins), « la conjecture de Riemann est un théorème », au sens où les zéros de zêta dans le rectangle défini par $\mathrm{Re}(s)\in[0,1]$ et $\mathrm{Im}(s)\in[-100,100]$ ont une partie réelle égale à $1/2$. (On peut même remplacer $100$ par $10^7$ sans risque...)
Pourriez-vous mettre le 6 au bon endroit dans la première ligne de votre post ?
Et pouvez-vous m'expliquer cette notion de multiplicité ? Je vois 2 fois toutes les couleurs de l'arc en ciel autour du point 1 et une seule fois ces couleurs autour du point 0. 1 annule (z-1) une seule fois tandis que 0 annule z^2 deux fois, j'aurais du coup pensé que 0 avait une multiplicité de 2 et 1 une multiplicité de 1. Merci de préciser si vous avez le temps, sinon, je dois pouvoir retrouver ça sur la toile.
Cordialement,
Denise
Une dernière chose : j'avais l'impression que pour zêta, en regardant les fichiers d'Odlyzko trouvables ici zéros de zêta, petit à petit, il y en avaient de plus en plus entre deux entiers consécutifs mais peut-être que ce n'est pas le cas, peut-être qu'il y aurait une périodicité presque régulière, telle que celle que vous indiquez par exemple pour $1+1/2^s$ en $\displaystyle\frac{2\pi}{\ln k}$. Sauriez-vous ce qu'il en est ?
Cordialement,
Denise
Merci pour le texte. Les 3 derniers, dont deux fleuris.
Je regarderai les $\displaystyle\frac{p^s}{p^s-1}$ pour la formule du produit eulérien.
Cordialement,
Denise
Pour ce qui est de la formule $\displaystyle\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}$ (qui "ressemble" à celle que Math Coss évoque), elle apparaît déjà dans l'article de Riemann, en bas de la page 2.
J'ai une nouvelle question, motivée par le fait que j'ai essayé hier, souhaitant comprendre l'égalité du produit eulérien, calculer les différents éléments apparaissant dans ce produit : les zéros globaux devraient être l'union des zéros de chaque élément du produit. Deux choses m'intriguent :
- chaque élément du produit est un $\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p^s}}$ ; j'ai réécrit cela en $\dfrac{p^s}{p^s-1}$ (si c'est une erreur grossière d'avoir ainsi modifié l'écriture, merci de me le dire) ; quand on fait dessiner cela comme précédemment, ma première source d'étonnement est qu'on a à peu près toujours le même nombre de solutions entre 0 et 100, c'est-à-dire 22, que $p$ vaille 2 ou bien 1999, par exemple, quelque soit le nombre premier, cela m'étonne mais il faudrait que je réessaie avec findroot, j'imagine que les zéros selon $p$ ne sont pas aux mêmes endroits ;
- le deuxième questionnement est : puisque les numérateurs sont tous non nuls, pourquoi y a-t-il cependant des zéros ?
Je joins la portion d'image du manuscrit de l'article de Riemann (qu'on trouve sur le site du Clay Institute) qui montre les deux acceptions du grand signe $\Pi$ dans l'article, l'une pour dire produit et l'autre pour dire fonction $\Gamma$ d'Euler.
Merci de vos réponses.
Cordialement,
Denise
NB : Au moins, à la place de la série $\sum n^{-s}$, on a la version « alternée » : \[\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\] valable pour $\mathrm{Re}(s)>0$ à quelques exceptions près (les $s$ qui annulent $1-2^{1-s}$).
J'ai tenté la définition alternée, puisque c'est la seule valable là où c'est intéressant.
Je poste les dessins, il me semble que lancer une affaire de vente de tableaux d'art à base de ces arcs-en-ciel pourrait être un bon plan ;-) !
Par contre, pour $\xi(s)=\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{\frac{-s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)$, on peut pas dire que ça soit probant.
Cordialement,
Denise
Sur l'image $\zeta(z)$ est à droite et $\chi(z)$ est à gauche.
Une question serait s'il existe un sens dans lequel $\zeta(z)$ est la meilleure interpolation possible, comparée à d'autres séries de Dirichlet avec la même équation fonctionnelle, ce qui pourrait être intéressant en terme de distribution des zéros.
Je ne vois pas bien pourquoi tu veux remplacer $\zeta(z)$ par des sommes finies. Si tu te restreins à $\Re(z) > -1$ alors tu peux utiliser que $\zeta(z) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{2N} (-1)^{n+1} n^{-s}- \frac12 N^{-s}$
Merci de votre réponse si précise.
J'ai essayé les sommes finies car c'était la suggestion de la première réponse de Math Coss à mon post initial. Je ne comprends cependant pas car il semblerait que plus on ajoute de termes et plus il y ait de solutions "en bas" (de parties imaginaires plus petites que 14 et quelques le premier zéro de zêta) alors que ces solutions ne sont pas des zéros de zêta. Je donnerai d'autres raisons plus tard car pas de temps là.
J'essaierai dès que possible la dernière formule que vous proposez.
Cordialement,
Denise Chemla
Je "vois rouge" å droite de $Re(s) > 1$ pour l'une et l'autre... C'est ça que vous voulez dire par elles se ressemblent dans le demi-plan en question ? ou bien est-ce que ça n'est pas comme il faudrait ?
Merci de me dire.
Cordialement,
Denise
Je poste simplement le "attention ça va être tout noir" d'hier.
Cordialement,
Denise
Par curiosité naïve, quand vous parlez d'interpolation, est-ce cette acception-là que vous avez en tête ?
interpolation
Le minuscule souhait que j'aurais plutôt eu par rapport à cette fonction, du fait de mon petit niveau, aurait été de voir la droite critique comme une droite-limite, un peu comme dans le dessin ici :
droite limite
mais les essais vus plus haut semblent montrer qu'il s'agirait plutôt d'une espèce de courbe très légèrement sinueuse autour de la droite-critique et "presque droite" dont les points s'aligneraient petit à petit. De toute façon, ces idées restent beaucoup trop impressionistes.
Mon souhait de "droite limite" est motivé par le fait que lorsque j'ai fait calculer à l'ordinateur la moyenne des parties décimales des parties imaginaires des zéros non triviaux trouvés sur le site (cf plus haut), cette partie décimale moyenne semblait tendre asymptotiquement vers 1/2 (avec seulement 100000 zéros). Peut-être que statistiquement, cela est simplement dû au fait que 100000 zéros, c'est beaucoup, et que donc la limite de 1/2 est normale par une loi des grands nombres, je ne sais pas. Cette idée va mieux avec celle de courbe sinueuse dont les points s'alignent petit à petit (des parties fractionnaires supérieures à 1/2, d'autres inférieures à 1/2, et équilibrage progressif) plutôt qu'avec celle de droite-limite que j'aimais bien (tendre vers la tangente de je ne sais quelle courbe).
Dernière chose, je n'arrive de toute façon pas à programmer cette idée de limite, qui semble réalisable avec le package scipy ici :
scipy limit
Cordialement,
Denise
$\frac{\zeta(z)}{1}$ est méromorphe et pour $\Re(z) > 2$,il existe un $C < 1$ tel que $|\frac{\zeta(z)}{1}-1| < C$ et $\frac{\zeta(z)}{\chi(z)}$ est méromorphe et pour $\Re(z) < -1$ il existe un $C' < 1$ tel que $|\frac{\zeta(z)}{\chi(z)}-1| < C'$.
Quand on remplace $\Re(z) > 2, \Re(z) < -1$ par $\Re(z) > \sigma,\Re(z) < 1-\sigma$ alors les constantes $C,C'$ tendent vers $0$ quand $\sigma\to \infty$.
C'est un peu la même idée qu'avec $\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \Gamma(z)\Gamma(1-z)$, où $\Gamma(z)$ (ou plutôt sa dérivée logarithmique fois $1/z^2$) interpole (la dérivée logarithmique de) $\sin(\pi z)$ sur un demi-plan avec une autre fonction sur l'autre demi-plan.
J'ai trouvé cet article mais seulement en anglais :
fonction $\xi$ de Riemann
Dans l'article original, la fonction $\xi$ est définie sur les réels $t$ avec $s=\frac{1}{2}+it$ à la page 2.
Je pensais naïvement (histoire de raccourcir les démonstrations au maximum !) qu'avoir une fonction bien symétrique avec $\xi(1-t)=\xi(t)$ aligne les points sur la droite critique (l'équation fonctionnelle $\xi(1-t)-\xi(t)=0$ est inchangée par la transformation $t \mapsto 1-t$, dit autrement $t=1-t \iff 2t=1 \iff t=1/2$) et on voit là la manière dont la néophyte percevait une analogie entre HR et CG : pour CG, on cherche $p_1$ et $p_2$ tels que $n=p_1+p_2=x+(n-x)$ et la transformation devient $x \mapsto n-x$ plutôt que $x \mapsto 1-x$. Le pair qu'on cherche à décomposer sous la forme d'une somme de deux premiers est en quelque sorte une unité différente à chaque fois.
Bonne journée,
Denise
Un peu par hasard, je viens de retomber sur un diaporama que j'avais trouvé être de loin le plus pédagogique sur l'article fondateur de Riemann (dont j'ai fourni plus haut le pdf correspondant au wikisource ici) :
wikisource article de Riemann Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée
Je le joins.
Cordialement,
Denise
Ce petit post pour sIgnaler que j’ai trouvé hier en librairie un livre d’Elias Wegert qui semble superbe au feuilletage, qui s’appelle Visual Complex Functions, an introduction with phase portraits. Peut-être éclaircira-t-il un peu les choses...
Il présente de multiples exemples imagés.
Cordialement,
Aline
J’ai trouvé dans le livre en question une fonction qui « tord les dendrites » au sens où je l’entendais plus haut : c’est $\cos(z^2)$ (il parle d’intégrale de Fresnel, apparaissant dans les phénomènes de diffraction optique).
Cepndant, tout le plan est coloré et pas seulement le demi-plan gauche.
Ce bouquin est vraiment chouette, il fait penser au Needham, très visuel également. Dommage que n’en existent pas des traductions en français.
Cordialement,
Aline