Convergence
dans Analyse
Bonjour
Pouvez-vous m’expliquer pourquoi e-n1/2ln(2) converge ?
Dans la correction, on utilise la règle « nbUn —> 0 quand n-> +oo et b > 1 mais je ne vois pas comment elle a pu être appliquée dans mon cas.
Merci d’avance.
Pouvez-vous m’expliquer pourquoi e-n1/2ln(2) converge ?
Dans la correction, on utilise la règle « nbUn —> 0 quand n-> +oo et b > 1 mais je ne vois pas comment elle a pu être appliquée dans mon cas.
Merci d’avance.
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Réponses
Je suppose que tu parles de la série.
Par exemple en prenant $b=2$ (ou n'importe quel $b> 1$)
On a bien
$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{e^{\sqrt n\ln(2)}}=0$
la seule chose à préciser c'est que $\ln(2) > 0.$
Je suis d’accord que la limite vaut 0 mais comment explique-t-on que cela implique que la série converge ?
Pour une série $\sum u_n$ à termes positifs, s'il existe un réel $b>1$ tel que $\lim_{n\to +\infty}n^bu_n=0$ alors la série $\sum u_n$ converge.
Comme $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2u_n = 0$, il existe un rang à partir duquel $n^2u_n \le 1$ ou encore $u_n \le \frac{1}{n^2}$.
Par comparaison, la série converge.
Sous réserve que $u_n$ soit positif évidemment.
J’ai une autre question comment passe-t-on de n / (ln(n)n-1) à n.ln(n)n-1 ?
Merci